Гипотеза римана

Угрожает ли римановская гипотеза основам современной криптографии

Шифрование данных возникло вместе с появлением иероглифов, точнее, они сами по себе могут считаться первыми кодами. На данный момент существует целое направление цифровой криптографии, которое занимается разработкой алгоритмов шифрования.

Простые и «полупростые» числа, т. е. такие, которые делятся только на 2 других числа из этого же класса, лежат в основе системы с открытым ключом, известной как RSA. Она имеет широчайшее применение. В частности, используется при генерировании электронной подписи. Если говорить в терминах, доступных «чайникам», гипотеза Римана утверждает существование системы в распределении простых чисел. Таким образом, значительно снижается стойкость криптографических ключей, от которых зависит безопасность онлайн-транзакций в сфере электронной коммерции.

Математические работы

Работы Атьи, написанные до 1958 года, посвящены в основном алгебраической геометрии. В 1954 году он был награждён за применение языка теории пучков к исследованию линейчатых поверхностей. Во время своего пребывания в Принстоне он классифицировал векторные расслоения над эллиптической кривой, показав, что любое такое расслоение раскладывается в прямую сумму неприводимых.

Основные работы относятся к алгебраической топологии, в которых под влиянием работ Александра Гротендика и в сотрудничестве с Фридрихом Хирцебрухом создал K{\displaystyle K}-теорию, отказавшись от обычных когомологий как основного гомотопического инварианта и заменив их так называемым K{\displaystyle K}-функтором (построив первый пример ). При помощи K{\displaystyle K}-теории вместе с Раулем Боттом доказал теорему Атьи — Ботта о неподвижной точке, и вместе с Изадором Зингером теорему об индексе эллиптического оператора, которая решила проблему, поставленную ещё Израилем Гельфандом в начале 1950-х годов. Эта теорема способствовала обнаружению новых связей между топологией и теорией дифференциальных уравнений, благодаря ей появился новый раздел топологии — теория индекса. Также Атья и Ботт обобщили классические результаты Ивана Петровского о гиперболических уравнениях в частных производных.

Многие работы учёного, написанные после 1977 года, посвящены математической физике, особенно важны его работы в области калибровочных полей. В частности, совместно с другими авторами, описал все возможные инстантоны в четырёхмерном евклидовом пространстве.

Во второй половине 2010-х годов несколько раз заявлял о нахождении неожиданно простых решений известных математических проблем, так, в сентябре 2018 года сообщил о доказательстве гипотезы Римана, однако заявления учёного встречены математическим сообществом с молчаливым скепсисом.

Среди учеников наиболее известны Саймон Дональдсон, Джордж Люстиг и Найджел Хитчин.

Маленький шаг к Единой Теории Поля или связь Гравитации и Электромагнетизма

Много ученых пыталсь открыть так называемую Единую Теорию Поля. Термин введен Эйнштейном. Цель этой теории найти связь между всеми известными полями такими как гравитация, электромагнетизм и т.д. Давайте начнем с чего-нибудь простого, например, найдем связь между гравитационной постоянной G и электромагнитными константами ε
(Электрическая постоянная), μ (Магнитная постоянная) и некоторыми другими константами, такими как число π, Постоянная Планка, элементарный заряд (заряд электрона), постоянная Больцмана. Здесь предлагается использовать метод полного перебора, чтобы найти эту связь. Эта задача претерпела множество изменений, которые описаны в этом старом посте (на английском).

Почему есть шанс найти что-нибудь интересное?

Довольно часто в истории, ученые просто угадывали правильные уравнения или открывали что-то случайно. Есть мнение, что даже Эйнштейн просто угадал его известную формулу E=mc2. В этом смысле почему бы не попробовать еще раз, особенно сейчас, с современными технологиями можно использовать новые подходы. Сегодня среди нас нет Эйнштейна, но есть компьютеры, которые могут частично заменить его очень умный мозг.

Как это будет вычисляться (матчасть)

     (1)

G – Гравитационная постоянная (6.67408×10-11)

ε – Электрическая постоянная (8.85418781762×10-12)

μ – Магнитная постоянная (1.2566370614359×10-6)

h – Постоянная Планка (6.626070040×10-34)

e – Элементарный электрический заряд (заряд электрона) (1.6021766208×10-19)

m, n – целые числа, принимающие значения от 2 до 15. Они необходимы для учета случаев вида 3/2*что-нибудь и т.д., которые часто появляются в физических уравнениях

π – Число Пи (3.14159265…)

a, b, c, d, f, g, j – показатели степени, которые принимают одно из значений -5, -9/2, -4, -7/2, -3, -5/2, -2, -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5. Это наиболее часто используемые в физике показатели степени и они покрывают большинство случаев, например

Сколько времени займут эти вычисления?

С нормальным современным компьютером и настройками по умолчанию в браузере Google Chrome эта программа выполняет около 6000 проверок уравнения () в секунду. Количество комбинаций составляет 3.5×1011 или 350 миллиардов. Общее время на проверку всех комбинаций с учетом 5-ти кратного повторения для одного компьютера составит 18 лет и для 10000 компьютеров около 16 часов.

Математическая и естественнонаучная гипотеза

Основная статья: Гипотеза

В отличие от естественнонаучной гипотезы, математическая гипотеза может быть логически доказана в некоторой системе аксиом, после чего она становится теоремой, верной при этих ограничениях, «на все времена». Характерным примером является научное наследие Ньютона, заявлявшего, что он «гипотез не измышляет», и стремившегося в физике не выходить за рамки математической модели. Математические теоремы Ньютона, как и древнейшая теорема Пифагора, по сей день остаются в силе, однако его классическая механика и теория тяготения после появления специальной и общей теорий относительности стали опровергнутыми физическими гипотезами. Если разрешимая математическая гипотеза может быть либо доказана, либо опровергнута, то для естественнонаучной гипотезы в силу относительности естественнонаучного знания свойства верифицируемости и фальсифицируемости не исключают друг друга. Механика Ньютона неприменима для скоростей, близких к скорости света, но с очень большой точностью описывает движение большинства тел Солнечной системы. Поэтому в физике обычно говорят не об опровержении гипотез, а об ограничении сферы применимости теории.

Внутренность сферы

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях.
Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям.
Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

Связанные проблемы

Две гипотезы Харди-Литтлвуда

В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал, что функция ζ(12+it){\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} имеет бесконечно много вещественных нулей.

Пусть N(T){\displaystyle N(T)} есть количество вещественных нулей, а N(T){\displaystyle N_{0}(T)} количество нулей нечётного порядка функции ζ(12+it){\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}, лежащих на интервале (,T{\displaystyle (0,T]}.

Две гипотезы Харди и Литлвуда (о расстоянии между вещественными нулями ζ(12+it){\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} и о плотности нулей ζ(12+it){\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} на интервалах (T,T+H{\displaystyle (T,T+H]} при достаточно большом T>{\displaystyle T>0}, H=Ta+ε{\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }} и как можно меньшем значении a>{\displaystyle a>0}, где ε>{\displaystyle \varepsilon >0} сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:

1. Для любого ε>{\displaystyle \varepsilon >0} существует T=T(ε)>{\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}, такое что при T⩾T{\displaystyle T\geqslant T_{0}} и H=T,25+ε{\displaystyle H=T^{0{,}25+\varepsilon }} интервал (T,T+H{\displaystyle (T,T+H]} содержит нуль нечётного порядка функции ζ(12+it){\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}.
2. Для любого ε>{\displaystyle \varepsilon >0} существуют такие T=T(ε)>{\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} и c=c(ε)>{\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}, что при T⩾T{\displaystyle T\geqslant T_{0}} и H=T,5+ε{\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }} справедливо неравенство N(T+H)−N(T)⩾cH{\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geqslant cH}.

Гипотеза А. Сельберга

В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого ε>{\displaystyle \varepsilon >0} существуют T=T(ε)>{\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} и c=c(ε)>{\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}, такие что для T⩾T{\displaystyle T\geqslant T_{0}} и H=T,5+ε{\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }} справедливо неравенство N(T+H)−N(T)⩾cHlog⁡T{\displaystyle N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T}.

В свою очередь, Атле Сельберг высказал гипотезу, что можно уменьшить показатель степени a=,5{\displaystyle a=0{,}5} для величины H=T,5+ε{\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }}.

В 1984 году А. А. Карацуба доказал, что при фиксированном ε{\displaystyle \varepsilon } с условием <ε<0,001{\displaystyle 0<\varepsilon <0{,}001}, достаточно большом T{\displaystyle T} и H=Ta+ε{\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}, a=2782=13−1246{\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}} промежуток (T,T+H){\displaystyle (T,T+H)} содержит не менее cHln⁡T{\displaystyle cH\ln T} вещественных нулей дзета-функции Римана ζ(12+it){\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}. Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при T→+∞{\displaystyle T\to +\infty }.

В 1992 году А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков (T,T+H{\displaystyle (T,T+H]}, H=Tε{\displaystyle H=T^{\varepsilon }}, где ε{\displaystyle \varepsilon } — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках (T,T+H{\displaystyle (T,T+H]}, длина H{\displaystyle H} которых растёт медленнее
любой, даже сколь угодно малой, степени T{\displaystyle T}. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ε{\displaystyle \varepsilon }, ε1{\displaystyle \varepsilon _{1}} с условием
<ε,ε1<1{\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1} почти все промежутки (T,T+H{\displaystyle (T,T+H]} при H⩾exp⁡{(ln⁡T)ε}{\displaystyle H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}} содержат не менее H(ln⁡T)1−ε1{\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}} нулей функции ζ(12+it){\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Предварительные замечания

Риманова поверхность рода 3.

Риманова поверхность X является топологическим пространством, которое локально гомеоморфно открытому подмножеству C, множества комплексных чисел. Кроме того, требуется, чтобы функции перехода между этими открытыми подмножествами были голоморфны. Последнее условие позволяет перенести термины и методы комплексного анализа, имеющие дело с голоморфными и мероморфными функциями на C, на поверхность X. Для целей теоремы Римана — Роха, поверхность X всегда предполагается компактной. Грубо говоря, род g римановой поверхности — это число ручек поверхности. Например, род показанной справа римановой поверхности равен трём. Более точно, род определяется как половина первого числа Бетти, то есть половина комплексной размерности первой группы сингулярных гомологий H₁(X, C) с комплексными коэффициентами. Род классифицирует компактные римановы поверхности с точностью до гомеоморфизма, то есть две такие поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда их род совпадает. Таким образом, род является важным топологическим инвариантом римановой поверхности. С другой стороны, теория Ходжа показывает, что род совпадает с (комплексной) размерностью пространства голоморфных 1-форм на X, так что род кодирует также комплексно-аналитическую информацию о римановой поверхности.

D — это элемент свободной абелевой группы, порождённой точками поверхности. Эквивалентно, дивизор является конечной линейной комбинацией с целыми коэффициентами точек поверхности.

Любая мероморфная функция f даёт дивизор, обозначаемый (f), который определяется как

(f):=∑zν∈R(f)sνzν{\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }}

где R(f) — множество всех нулей и полюсов функции f, а s_ν задаётся следующим образом

sν:=a{\displaystyle s_{\nu }:=a}, если zν{\displaystyle z_{\nu }} является нулём порядка a, и -a, если zν{\displaystyle z_{\nu }} является полюсом порядка a.

Известно, что множество R(f) конечно. Это следствие компактности X и того факта, что нули (ненулевой) голоморфной функци не имеют предельных точек. Таким образом, (f) является вполне определённым. Любой дивизор такого вида называется главным дивизором. Два дивизора, отличающиеся на главный дивизор, называются линейно эквивалентными. Дивизор мероморфной 1-формы определяется аналогично. Дивизор глобальной мероморфной 1-формы называется (обычно обозначаемым K). Любые две мероморфные 1-формы дают линейно эквивалентные дивизоры, так что канонический дивизор однозначно определён с точностью до линейной эквивалентности.

Символ deg(D) означает степень (изредка называется индексом) дивизора D, то есть сумму коэффициентов, встречающихся в D. Можно показать, что дивизор глобальной мероморфной функции всегда имеет степень 0, так что степень дивизора зависит только от класса линейной эквивалентности.

Число ℓ(D){\displaystyle \ell (D)} является величиной, представляющей главный интерес — размерность (над C) векторного пространства мероморфных функций h на поверхности, таких, что все коэффициенты дивизора (h) + D неотрицательны. Интуитивно, мы можем думать о них как о мероморфных функциях, полюса которых в каждой точке не хуже, чем соответствующие коэффициенты D. Если коэффициент в D в точке z отрицателен, то мы требуем, чтобы h имела нуль степени, не меньшей в точке z, если коэффициент в D положителен, h может иметь полюс не превосходящий этого порядка. Векторные пространства для линейно эквивалентных дивизоров естественно изоморфны через умножение на глобальную мероморфную функцию (которая однозначно определена с точностью до скаляра).

Литература

• Боголюбов А. Н. . Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
• Дербишир Дж. . Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
• Математика XIX века / Под ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1978-1987.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. . Гидродинамика. 3-е изд. — М.: Наука, 1986. — 736 с. — (Теоретическая физика. Т. VI).
• Монастырский М. И. . Бернхард Риман. Топология. Физика. — М.: Янус-К, 1999. — 188 с. — ISBN 5-8037-0025-8.
• Тюлина И. А. . История и методология механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. — 282 с.
• Truesdell C. . History of Classical Mechanics. Part II, the 19th and 20th Centuries // Die Naturwissenschaften, 63, 3. — 1976. — P. 119—130.

Биография

Родился в семье ливанского писателя Эдуарда Атьи православного вероисповедания и шотландки. В 1934—1941 годах посещал начальную школу в Хартуме (Судан), в 1941—1945 годах — Виктория-колледж в Каире. Затем вернулся в Англию и обучался в школе Манчестера. В 1947 году поступил в кембриджский Тринити-колледж, а в 1955 году, под руководством Вильяма Ходжа, защитил диссертацию на тему Some Applications of Topological Methods in Algebraic Geometry.

30 июля 1955 года Атья женился на Лили Браун, с которой имел троих сыновей. До 1963 года преподавал в Кембриджском университете, после чего получил престижную должность в Оксфордском университете. Он оставался в последнем до 1990 года — с перерывом на 1955—1956 и 1969—1972 годы, когда являлся профессором Института перспективных исследований. Затем вернулся в Кембридж.

В 1995—2005 годах ректор Лестерского университета. Позднее почётный профессор Эдинбургского университета.

Являлся президентом Лондонского математического общества (1974—1976), Лондонского королевского общества (1990—1995, член с 1962) и Королевского общества Эдинбурга (2005—2008), а также Пагуошского движения учёных (1997—2002). В 1983 году стал одним из 42 членов-основателей Академии наук стран третьего мира, ныне Всемирной академии наук (TWAS). Является членом Британской гуманистической ассоциации. Подписал «Предупреждение учёных человечеству» (1992).

Разрешение математических гипотез

Доказательство

Математика основана на формальных доказательствах. Сколь бы убедительной гипотеза ни казалась, сколько бы ни было приведено примеров в её подтверждение, гипотеза может быть опровергнута одним контрпримером. Современные математические журналы иногда публикуют результаты исследований о диапазоне, в пределах которого справедливость гипотезы проверена. Например, гипотеза Коллатца проверена для всех целых чисел вплоть до 1,2 × 1012, однако этот факт сам по себе ничего не даёт для доказательства гипотезы.

Для доказательства гипотезы должно быть предъявлено математическое доказательство, которое путём логически безупречного рассуждения на основе некоторой системы аксиом делает единственно возможным утверждение гипотезы или логически невозможным противоположное утверждение.

Когда гипотеза доказана, то в математике она становится теоремой. Теоремой может стать и опровержение явной или неявной гипотезы. В истории математики некоторые гипотезы длительное время существовали в неявной форме, и многочисленные попытки найти квадратуру круга или решение алгебраического уравнения пятой степени в радикалах исходили из опровергнутых впоследствии гипотез о том, что это возможно.

Опровержение

Опровержение гипотезы также осуществляется с помощью доказательства, но с учётом типичных формулировок гипотез опровержение часто является простейшим видом доказательства — контрпримером. Такое доказательство является простейшим с логической точки зрения, однако построение примера в теории графов или поиск примера в теории чисел (гипотеза Эйлера) может быть делом очень непростым. После опровержения гипотеза может стать фактом истории математики, а может трансформироваться в новую математическую гипотезу. Например, гипотеза Эйлера после опровержения трансформировалась в гипотезу Ландера — Паркина — Селфриджа. В этом случае процесс сходен с эволюцией естественнонаучных гипотез.

Неразрешимые гипотезы

Не для всякой гипотезы можно доказать её истинность или ложность в заданной системе аксиом. Согласно теореме Гёделя о неполноте, во всякой достаточно сложной аксиоматической теории, например в арифметике, существуют утверждения, которые нельзя ни опровергнуть, ни доказать в рамках самой теории. Поэтому всякая математическая теория, содержащая арифметику, содержит не опровергаемые и недоказуемые в её рамках гипотезы.

Например, было доказано, что континуум-гипотеза Кантора в теории множеств не зависит от общепринятой системы аксиом Цермело — Френкеля. Поэтому можно принять в качестве аксиомы это утверждение или его отрицание, не приходя к противоречию с остальными аксиомами и без каких-либо последствий для доказанных ранее теорем. В геометрии с древнейших времён сомнения математиков вызывала аксиома параллельности Евклида. Сегодня известно, что если принять противоположную аксиому, то можно построить непротиворечивую геометрию Лобачевского, включающую абсолютную геометрию, то есть с сохранением всех остальных аксиом.

Условные доказательства

Из справедливости некоторых недоказанных гипотез вытекают важные следствия. Если существует широко распространённое мнение, что гипотеза верна, то математики иногда доказывают теоремы, которые верны только при условии справедливости такой гипотезы, в надежде что гипотеза будет доказана. Подобные доказательства распространены, например, в связи с гипотезой Римана.

Приложения

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон.
В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту θ{\displaystyle \theta } отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. <θ<π2{\displaystyle 0<\theta <\pi /2} (см. рис.)

В таком случае верны соотношения:

zz1=cos⁡θeiφsin⁡θ{\displaystyle z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta }

{ξ+iη=eiφsin⁡2θζ−1=cos⁡2θ{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matrix}}\right.}

В поляризационной оптике сферу Римана называют , а оси координат — .

Факты

• Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснётся. Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
• Гипотеза Римана относится к знаменитым открытым проблемам математики, в число которых в своё время входила и теорема Ферма. Как известно, Ферма сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик Г. Х. Харди использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безопасности во время морских путешествий. Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телеграмму: «Доказал гипотезу Римана. Подробности по возвращении». Харди считал, что Бог не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему благополучно вернуться из плавания.

Расширенная гипотеза Римана (РГР)

Пусть K — числовое поле (конечномерное расширение поля рациональных чисел Q) с кольцом целых O_K (это кольцо является целым замыканием целых чисел Z в K). Если a — идеал кольца O_K, отличный от нулевого идеала, мы обозначим его через Na. Дзета-функция Дедекинда над K тогда определяется как

ζK(s)=∑a1(Na)s{\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}

для любого комплексного числа s с вещественной частью > 1.

Дзета-функция Дедекинда удовлетворяет и может быть расширена аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость. В результирующей функции закодирована важная информация о числовом поле K. Расширенная гипотеза Римана утверждает, что для любого числового поля K и любого комплексного числа s, для которого ζ_K(s) = 0, выполняется: если вещественная часть числа s лежит между 0 и 1, то она, на самом деле, равна 1/2.

Исходная гипотеза Римана следует из расширенной гипотезы, если взять числовое поле Q с кольцом целых чисел Z.

Из РГР вытекает эффективная версия: если L/K является конечным расширением Галуа с группой Галуа G, а C является объединением классов смежности G, число идеалов K с нормой ниже x с классом смежности Фробениуса в C равно

|C||G|(li(x)+O(x(nlog⁡x+log⁡|Δ|))),{\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},}

где константа в нотации O-большое абсолютна, n является степенью L над Q, а Δ является его дискриминантом.

История

Древнегреческие математики часто применяли в качестве метода математического доказательства мысленный эксперимент, включавший в себя выдвижение гипотез и вывод из них с помощью дедукции следствий с целью проверки правильности первоначальных догадок. Сегодня такие рассуждения называются методом доказательства от противного. Платон рассматривал гипотезы как посылки разработанного им аналитико-синтетического метода доказательства, способного обеспечить абсолютно истинный характер вывода. Однако гипотеза как метод исследования была отвергнута Аристотелем, который в качестве посылок силлогистического доказательства мыслил лишь общие, необходимые и абсолютные истины. Это обусловило последующее негативное отношение учёных к гипотезам как форме недостоверного или вероятного знания. Преодолеть противопоставление гипотез и абсолютно точного знания и, как следствие, пренебрежительное отношение к гипотезам удалось лишь в XIX веке. В частности, Энгельс, рассматривая гипотезу как форму «развития естествознания», выдвинул положение о взаимосвязи гипотез с законами и теориями как разными формами относительно истинного знания.

Обобщения теоремы Римана — Роха

Теорема является фундаментальной в том смысле, что более поздняя теория для кривых пытается усовершенствовать информацию, получаемую из теоремы (например, в теории Брилля-Нётера).

Имеются версии для более высоких размерностей (при подходящем понятии дивизора или ). Их формулировка зависит от разбиения теоремы на две части. Первая, теперь называемая , интерпретирует член ℓ(K−D){\displaystyle \ell (K-D)} как размерность первой группы когомологий пучков. При ℓ(D){\displaystyle \ell (D)}, равном размерности нулевой группы когомологий или пространства сечений, левая часть теоремы становится эйлеровой характеристикой, а правая часть становится формулой вычисления её как степени, исправленной согласно топологии римановой поверхности.

В алгебраической геометрии размерности два такая формула была найдена геометрами итальянской школы. Теорема Римана — Роха для поверхностей была доказана (существует несколько версий, первое доказательство принадлежит Максу Нётеру). Такое положение вещей сохранялось примерно до 1950 года.

Основная статья: Теорема Римана — Роха для поверхностей

Обобщение для n-мерных многообразий, , было доказано Фридрихом Хирцебрухом как приложение характеристических классов из алгебраической топологии. На Хирцебруха повлияла работа Кунихико Кодайра. Примерно в то же время Жан-Пьер Серр дал общую форму , как мы её теперь знаем.

Александр Гротендик доказал далеко идущее обобщение в 1957 году, известное сейчас как . Его работа даёт другое толкование теоремы Римана — Роха, не как теоремы о многообразии, а как теоремы о морфизме между двумя многообразиями. Детали доказательства опубликовали Борель и Серр в 1958 году.

Наконец, общая версия была также найдена в алгебраической топологии. Эти исследования, в основном, проведены между 1950 и 1960 годами. После этого теорема Атьи — Зингера об индексе открыла другие пути обобщения.

Результатом является факт, что эйлерова характеристика (когерентного пучка) иногда вполне вычислима. Если требуется вычислить отдельный член суммы, должны быть использованы другие аргументы, такие как теоремы об обращении в нуль.