Бог любит троицу

История

В 1742 году математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха, второе — бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера).

Тернарная проблема Гольдбаха

Это, более слабое, утверждение было доказано для всех достаточно больших чисел Иваном Виноградовым в 1937 году, за что он получил Сталинскую премию и звание Героя Социалистического Труда.

В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел. В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент Константин Бороздин доказал, что нижняя граница не превышает 3315 ≈ 3,25×106 846 168 ≈ 106 846 168. То есть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел.

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ван и Чэнь не опустили нижнюю грань до ee11,503 ≈ 3,33339×1043 000 ≈ 1043 000,5, что, тем не менее, по-прежнему было вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел.

В 1997 году Дезуйе, Эффингер, те Риле и Зиновьев показали, что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость слабой проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих 1020, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.

В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана Харальдом Гельфготтом.

Бинарная проблема Гольдбаха

Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения.

Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 году Хью Монтгомери (англ. Hugh Montgomery) и Бобом Воном (англ. Bob Vaughan), они показали, что существуют положительные константы c и C такие, что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает

C

N

1
−
c

{\displaystyle CN^{1-c}}

.

В 1930 году Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел. Этот результат многократно улучшался, так, в 1995 году Оливье Рамаре доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел. Из справедливости тернарной гипотезы Гольдбаха (доказанной в 2013 году) следует, что любое чётное число — сумма не более чем 4 простых чисел.

В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.

На апрель 2012 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена для всех чётных чисел, не превышающих 4×1018.

Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение.

Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального вида.

Примечания

1. ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125–129
2. ↑ J. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702—718. Addendum 34 (1991) 143—144.
3. ↑ Jean-Marc Deshouillers, Gove Effinger, Herman te Riele, Dmitrii Zinoviev, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , Vol. 3, pp. 99 — 104. 1997.
4. ↑ Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…
5. ↑ Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
6. ↑ Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
7. ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
8. ↑ Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001.
9. ↑ Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
10. ↑ Yuri Matiyasevich. Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done.
11. ↑ Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993. мы можем переформулировать гипотезу Гольдбаха как утверждение о том, что диофантово уравнение
    Задачи тысячелетия

    (
    2
    a
    +
    4
    −

    p

    1

    −

    p

    2

    )

    2

    +

    P

    2

    (

    p

    1

    ,

    x

    1

    ,
    …
    ,

    x

    m

    )
    +

    P

    2

    (

    p

    2

    ,

    y

    1

    ,
    …
    ,

    y

    m

    )
    =
    0

    {\displaystyle (2a+4-p_{1}-p_{2})^{2}+\mathbf {P} ^{2}(p_{1},x_{1},\dots ,x_{m})+\mathbf {P} ^{2}(p_{2},y_{1},\dots ,y_{m})=0}

    разрешимо относительно

    p

    1

    ,

    p

    2

    ,

    x

    1

    ,
    …
    ,

    x

    m

    ,

    y

    1

    ,
    …
    ,

    y

    m

    {\displaystyle p_{1},p_{2},x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{m}}

    при всех значениях параметра

    a

    {\displaystyle a}

Биография

Из семьи торгового служащего. После окончания школы в -1949 годах учился и работал по специальности плотника. В это время он вступил в Антифашистский Молодёжный Комитет.

С 1946 года он член Союза Свободной Немецкой Молодёжи. Некоторое время работал начальником экономического отдела в пионерском лагере.

27 октября 1949 года Гольдбах вступает в Народную Полицию ГДР (Казарменная Полицейская Дежурная Часть, Гросенхайн (нем. Kasernierte Polizeibereitschaft Großenhain).

В 1950 году Гольдбах становится членом СЕПГ.

В -1951 годах он проходит курс обучения в танковой офицерской школе Главного управления боевой подготовки, унтер-комиссар.

В 1952 году Гольдбах — командир взвода и преподаватель в этой же школе КНП.

В -1956 годах был направлен на обучение в Военную Академию в СССР. После возвращения получил звание майора.

В  — 1960 годах Гольдбах служит сначала первым заместителем командира, потом начальником штаба и заместителем командира 7-й танковой дивизии в Дрездене Франца Рёса.

С 1 ноября по 31 июля 1964 года он в чине полковника командует этой дивизией.

В -1966 годах Гольдбах учится в Военной академии Генерального штаба Вооружённых сил СССР. После своего возвращения в ГДР в качестве дипломированного военного специалиста он с 1 октября 1966 года по 31 августа 1969 года командует 4-й МСД (Эрфурт).

7 октября 1966 года ему присвоено звание генерал-майора.

С 1 ноября 1969 года по 14 сентября 1972 года Гольдбах занимал должность первого заместителя командующего 3-го Военного округа (Лейпциг).

С 1 октября 1972 года по 15 октября 1979 года он уже сам командует 5-м Военным округом (Нойбранденбург). На этой должности 7 октября 1974 года ему было присвоено звание генерал-лейтенанта.

В 1979 году последовал перевод Гольдбаха на работу в министерство национальной обороны. Там он 16 октября 1979 года сменил Хельмута Поппе в должности заместителя министра национальной обороны и начальника тыловых служб. С 1 февраля 1986 года до 18 апреля 1990 года (момента упразднения министерства национальной обороны) Гольдбах — заместитель министра национальной обороны и начальник по технике и вооружениям ННА.

1 марта 1986 года, в 30-ю годовщину образования ННА, Гольдбах получил звание генерал-полковник. В переходном министерстве разоружения и обороны он с 18 апреля 1990 года возглавлял Ведомство по технике, разоружению и конверсии (нем. Amt für Technik, Abrüstung und Konversion). 30 сентября 1990 года Гольдбах был отправлен в отставку.

По обвинению в коссвенном участии в убийствах возле Берлинской стены в 1990-х годах против него было возбуждено уголовное дело. 30 мая 1997 года суд земли Берлин приговорил Гольдбаха к 3 годам и 3 месяцам лишения свободы за пособничество в убийствах.

18 марта 2001 года постановлением отделения суда второй инстанции он был освобождён из заключения.

Иоахим Гольдбах скончался 29 сентября 2008 года в Штраусберге.

Биография

Саксонский уроженец; родился в Таухе под Лейпцигом и предположительно учился в Лейпцигском университете, но учёной степени не имел. Обучался астрономии у немецкого астронома И. Буркхардта, через которого стал известен французскому академику Ж. Лаланду. Последний рекомендовал Гольдбаха берлинскому астроному И. Боде, с которым они в 1793 году совместно наблюдали кольцеобразное затмение солнца.

Некоторое время Гольдбах проживал в Париже, возможно работал в Бюро долгот, сотрудником которого также был И. Буркхардт. Гольдбах работал на в Готе и в Лейпциге, где занимал должность вычислителя в налоговой службе городского Совета. В 1799 году Гольдбах издал в Веймаре при поддержке директора Зеебергской обсерватории Цаха, «Новый небесный атлас» («Neuester Himmels‐Atlas»), представлявший собой 5-е издание атласа Дж. Флемстида. Гольдбах каждую карту выполнил в двух вариантах: только звезды (без координатной сетки и фигур) и в традиционном виде — с наложенными изображениями созвездий. Атлас, содержавший свыше 10 тыс. звёзд принёс Гольдбаху известность.

По рекомендации Иоганна Боде попечитель Московского университета М. Н. Муравьёв пригласил Гольдбаха в Москву для строительства университетской обсерватории. В 1804 году Гольдбах приехал в Москву и стал первым ординарным профессором астрономии Московского университета. Читал лекции (на французском языке) по сферической астрономии, гномонику (теория солнечных часов), теоретической астрономии, математической географии и гидрографии, хронологии и истории астрономии.

В одной из комнат своей профессорской квартиры он соорудил временную обсерваторию. В 1805 году он сделал доклад в Физико-медицинском обществе на тему «Рассуждение о наблюдениях за уклонением магнитной стрелки в Москве и о начертании магнитной карты в России». В ноябре 1807 года он выступил в Московском обществе испытателей природы с докладом о наблюдавшейся тогда комете и дал обзор развития знаний о кометах вообще (доклад был опубликован в «Вестнике Европы»).

Стараниями Гольдбаха были составлены планы и сметы для устройства в Москве обсерватории, было определено место для неё. Однако, начало строительства было отложено и Гольдбах обратился к геодезическим измерениям и географическим исследованиям; им были определены географическое положение Тулы и Рязани (1806), Клина, Твери, Торжка, Осташкова, Вышнего Волочка, Новгорода и Петербурга (1807) — результаты этих измерений были изданы в 1808 году в «Berliner Jahrburch» Боде (1811). В 1810 году он выполнил тригонометрическую съёмку Москвы, связав с колокольней Ивана Великого в Кремле башни, церкви и другие здания цепью триангуляционных треугольников.

Умер 11 апреля 1811 года в Москве. После его смерти преподавание астрономии в Московском университете возобновилось только в 1823 году, когда кафедру астрономии занял Д. М. Перевощиков.

Его сын, Лев Фёдорович Гольдбах окончив Московский университет, стал ботаником.