Задачи тысячелетия

Квантовая теория гравитации

Разработка теории гравитации

Эта проблема породила новые и любопытные области в физике и математике

Наибольшее внимание привлекла так называемая теория струн. Теория струн заменяет понятие частиц крошечными вибрирующими струнами, которые могут принимать различные формы

Каждая струна может вибрировать определенным образом, который придает ей определенную массу и спин. Теория струн невероятно сложна и математически устроена в десяти измерениях пространства-времени — на шесть больше, чем мы привыкли считать. Эта теория успешно объясняет множество странностей брака гравитации с квантовой механикой и в свое время была устойчивым кандидатом на должность «теория всего».

Другая теория, формулирующая квантовую гравитацию, называется петлевой квантовой гравитацией. ПКГ относительно менее амбициозна и старается быть, прежде всего, уверенной теорией гравитации, не замахиваясь на великое объединение. ПКГ представляет пространство-время как ткань, образованную крошечными петельками, отсюда и названием. В отличие от теории струн, ПКГ не добавляет лишних измерений.

Хотя у обеих теорией есть свои плюсы и минусы, теория квантовой гравитации остается нерешенным вопросом, поскольку ни одна из теорий не была доказана экспериментально. Экспериментальная проверка и подтверждение любой из вышеупомянутых теорией остается гигантской проблемой экспериментальной физики.

Теория квантовой гравитации едва ли возымеет значимый эффект в нашей повседневной жизни, однако, будучи обнаруженной и доказанной, станет мощным свидетельством того, что мы далеко продвинулись в науке и можем двигаться дальше, в направлении физики черных дыр, путешествий во времени и червоточин.

Эксперимент

Чтобы помочь Ляле Гиззатовне донести свои мысли до широкой общественности, предлагаем ей прямо в редакции вооружиться циркулем и линейкой. Снимаем на видео, как она делит угол на три равные части, а затем договариваемся о встрече с известным челябинским ученым, академиком РАН Сергеем Матвеевым и его коллегами-математиками из Челябинского госуниверситета.

Сначала предложение посмотреть видео с решением задачи о трисекции угла встречает тот же отпор, с которым в течение двух лет сталкивалась педагог.

— Этой проблемой занималось не одно поколение математиков, — возмущается Сергей Матвеев. — Какое бы решение ни предложили, оно однозначно неверное. Иначе это действительно сенсация, и с ней можно претендовать на Нобелевскую премию.

Абелевская премия в третий раз присуждена математику с русскими корнями

— Но ведь, если верить истории, последние две сотни лет решение даже не искали, а все это время математика шла семимильными шагами, — пытаемся привести аргумент Ляли Гиззатовны. — Возможно, стоит попробовать снова? Ведь в ХIХ веке могли и ошибаться?

— Мир остался прежним, как и его законы, — отметает довод доцент кафедры математики Филипп Кораблев. — Если вы бросите камень, он на Марс не улетит. Мы, конечно, можем посмотреть видео и, возможно, даже не обнаружим в этом решении ошибку, но она там обязательно есть. Мы бы посоветовали учительнице поискать ее самой!

Вот как! И это экспертное мнение? Проявив немалую настойчивость, нам все-таки удается уговорить математиков потратить пять-семь минут на видео. Несмотря на высказанное недоверие, происходящее на экране вызывает у них неподдельный интерес.

И, хотя явной ошибки, подрывающей все математические устои, как и предупреждал Филипп Кораблев, с ходу найти не удается, они остаются при своем мнении: решение не может быть правильным, потому что доказано обратное! Именно эту мысль и попросил как можно деликатнее донести до Ляли Гиззатовны Сергей Матвеев. А потом добавил:

— А вообще… Было интересно…

Отложите гаджеты

Рассказывая о невозможности решить задачу Архимеда, доцент Кораблев вспомнил, как в школе ее предложила учительница математики — видимо, просто устала от класса:

— Мы пол-урока ломали головы и выдвигали свои версии, конечно, изначально неверные. И только после узнали, что она просто пошутила и водила нас за нос.

Математики решили задачу, которой 65 лет

Но ведь как минимум один человек из этого класса все-таки стал математиком, разве не так?

Сегодня увлечь детей настолько, чтобы они хотя бы на пять минут отложили в сторону любимые гаджеты, — задачка не из простых. И не всякая школа способна ее решить. Интерес к естественным наукам, физике и математике, царивший в эру завоевания космоса, сильно упал. И пробудить его могли бы подвижники-учителя, такие как Архимед, преподаватель математики доцента Кораблева или скромная пенсионерка из Миасса Ляля Зарипова.

Энергии и увлеченности этого человека можно позавидовать. В 86 лет Ляля Гиззатовна продолжает увлекать любимым предметом окружающих. Наверное, поэтому к ней по-прежнему обращаются с просьбой подтянуть детей по математике. Ведь после ее уроков ученик начинает стараться понять, а не зазубрить, решить, а не списать из Интернета…

P. S.

Возможно, Ляля Гиззатовна и правда достойна Нобелевской премии? «РГ» обращается ко всем, кто силен в математике и геометрии: давайте найдем ошибку в решении, предложенном учительницей (свои варианты присылайте по адресу m.pinkus@mail.ru). А может, никакой ошибки нет? Решив задачу о трисекции угла, Ляля Гиззатовна пытается разгадать загадку простых натуральных чисел…

Проблемы движения тел и среды (1-2)

Уравнение Навье-Стокса

Среди 7 проблем тысячелетия 6-я проблема является чисто прикладной задачей.
От ее решения зависит качество проектирования самолетов, ракет, снарядов, гидротурбин, подводных лодок, газо- и нефтепроводов.
В биологии и медицине решение этого уравнения дает всю правду о течении крови в сосудах, жидкости в клетках сосудов и т.д.

Решить уравнения Навье-Стокса не могут с 1822 года. Более того, не могут доказать: правильно ли мы решаем это уравнение,
а их приходится решать на компьютерах в силу большой размерности, где 3 — уже много.

Поэтому, прежде, чем вычислять, надо доказать теорему существования и единственности решения (СЕР),
что составляет суть проблемы и важно потому, что аварии на газопроводах, гидростанциях, авиакатастрофы
могут оказаться следствием неправильных расчетов уравнения Навье-Стокса, а не слепой случайности. (Чоро Тукембаев)

(Чоро Тукембаев)

Американка Пенелопа Смит (Penelope Smith) из Университета Лихай (Lehigh University, Вифлеем, штат Пенсильвания)
опубликовала 26.09.2006 сатью «Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navier-Stokes System».
Она выяснила, что уравнения Навье-Стокса могут быть перезаписаны в форме дифференциальных уравнений, которые она знала, как решать.

В статье представлено это решение и она уверена в нём.
Смит когда-то также посещала те же самые семинары, что и наш Григорий Перельман.
Большой вклад в развитие теории уравнений Навье-Стокса внесла некогда и наша петербургская женщина-математик — Ольга Ладыженская.
Главным результатом Ладыженской в этой области стало полное решение проблемы в двумерном случае.

• Статьи Чоро Тукембаева:
• Работы Талайбека Омурова, Кыргызстан:
• Работы Намаза Алтаева (Казахстан, г.Шымкент):

  Намаз считает, что принятые подходы к решению уравнений Эйлера и Навье-Стокса методами математической физики ведут в тупик.
  Он полагает, что природу этих уравнений можно удовлетворительно интерпретировать,
  если за основу анализа брать основополагающие принципы теоретической и эмпирической физики.

Задача притяжения трех тел

Как определить нерешаемую задачу

Бизнес-задача — табуретка о четырех ногах: деньги, ресурсы, время, знания. Временем можно компенсировать деньги и ресурсы — бесконечно двигаться малыми дешевыми шагами. Серьезные деньги способны выиграть время и подкрепить ресурсами. Масштаб ресурсов балансирует время и деньги. Нерешаемой предполагаю задачу, когда у табуретки не хватает двух ножек, одна из которых — знания.

Обязательный признак такой проблемы — безнадежность: исчерпано отведенное время, использованы доступные ресурсы, потрачены значительные суммы денег, мобилизована внутренняя и привлечена внешняя компетенции, а результат не достигнут, и нет света в конце туннеля.

Следующий критерий нерешаемой задачи — готовность заказчика: изучил рекомендации и просит личную встречу, не ставит условий и ограничений, оплачивает проживание и транспорт, передает полномочия и становится частью команды.

Последний штрих — деликатность: наниматель считается с моим графиком, соглашается с техническим райдером, предоставляет административную поддержку, не требует подписания документов, не выуживает информацию о своих конкурентах — моих клиентах.

Первые шаги

Теперь, когда абстрактная задача взята в работу, следует глубоко в нее погрузиться. Вежливо и тактично общаюсь с теми, кто уже обломал зубы о нерушимую твердь. Недопустимо ругать предшественников — деньги платят за решение, а не за набивание цены. Искренне и вдумчиво стремлюсь понять опробованные подходы и полученные результаты.

Далее перемещаюсь в «гембу» — «настоящее место», где все происходит. Лично осматриваю, придирчиво изучаю, пробую обстановку всеми органами чувств. Общаюсь с людьми, для которых гемба — ежедневная обыденность: поделятся прикладными сведениями, дадут толковые советы, объяснят зависимости, проронят важную фразу или ключевое слово.

Доказано — не доказано

Прежде чем продолжить рассказ, сделаем важное отступление. С этого самого момента (то есть с 1937 года) советские математики и дружественные им считают тернарную проблему Гольдбаха решенной, в то время как зарубежные математики с этим несогласны

К несчастью, правы именно иностранцы: несмотря на то что Виноградов проделал уникальную работу, окончательно задача не была решена. Во-первых, Виноградов не оценил число N. Когда же это было сделано его учеником Константином Бороздиным, оказалось, что граница N в работе Виноградова составляет число порядка 106 846 168. Даже сейчас численная проверка на компьютерах всех «оставшихся» случаев в работе Виноградова не представляется возможной. А значит (и это во-вторых), среди этих чисел может скрываться контрпример к утверждению тернарной гипотезы Гольдбаха. И пусть в существование такого контрпримера никто не верил, задача не могла считаться решенной.

С тех пор многие математики пытались улучшить результат Виноградова. Идея в основе всех этих попыток была довольно простой: улучшая оценки, добиться того, чтобы N стало достаточно малым. «Достаточно малым» в данном случае подразумевает такое значение, для которого гипотезу Гольдбаха можно проверить на компьютере.

«Я начал серьезно заниматься проблемой Гольдбаха в 2006 году, — рассказал «Ленте.ру» Хельфготт. — Достаточно быстро я понял, что могу улучшить существовавшие на тот момент оценки малых дуг. Результатом этой работы стали так называемые свободные от логарифмов оценки (эти результаты я получил достаточно быстро). Дальше работа двигалась намного медленнее — ведь я старался улучшать оценки не только количественно, но и качественно. С самого начала мне казалось, что без качественных улучшений в этой задаче не продвинуться».

В 2012 году свет увидела работа известного специалиста по теории чисел и филдсовского медалиста 2006 года Терренса Тао. Ему удалось показать, что всякое нечетное число представимо как сумма не более чем пяти простых чисел.

«Надо сказать, что появление работы Тао, посвященной пяти простым числам, подстегнуло меня. У меня появился повод собрать воедино все те идеи, которые на тот момент скопились у меня по поводу тернарной гипотезы Гольдбаха. Результатом этого стала работа, посвященная малым дугам. Еще год ушел у меня на работу по большим дугам», — рассказал Хельфготт.

Результатом трудов Хельфготта стала 133-страничная работа, которая содержит все необходимые оценки. Главная теорема звучит следующим образом: все нечетные целые числа, большие 1029, могут быть представлены в виде суммы трех простых. Ранее утверждение гипотезы Гольдбаха было проверено (самим Хельфготтом в сотрудничестве с Давидом Платтом) до 8,875 x 1030. Вместе эти два факта дают окончательное доказательство тернарной гипотезы Гольдбаха. Примечательно, что новая работа полагается на численные методы еще в одном месте: для доказательства пришлось проверить уже упоминавшуюся обобщенную гипотезу Римана для достаточно большого количества корней. Сделано это было Давидом Платтом.

«Я помог Платту, — говорит Хельфготт, — выбил ему время на суперкомпьютерах в разных местах. Впрочем, его вычисления нужны не только в этой задаче — они будут полезны и в других разделах математики».

Похожее

• Иноходец. Урок Перельмана
  Этот фильм — первая серьезная попытка на телевидении разобраться, какие бури движут этим человеком и что именно он сделал для русской и мировой науки. А вывод, почему же Перельман не взял свой миллион, зритель уже сделает сам…

• Парадоксы бесконечных множеств
  Представьте отель с бесконечным числом номеров. Приезжает автобус с бесконечным числом будущих постояльцев. Но разместить их всех — не так-то просто. Это бесконечная морока, а гости бесконечно уставшие. И если справиться с задачей не удастся, то можно потерять бесконечно много денег! Что же делать?

• Математик и наставник Григория Перельмана Сергей Рукшин рассказал, в чем ошибки реформы российского образования
  «Ломоносовых больше не будет»

• Великие безумцы

  Гении Леонардо да Винчи, Бах, Ван Гог, Достоевский, Эйнштейн, Перельман – люди, которые меняют наш взгляд на мир. Среди них нет ни одного «нормального» с точки зрения обычного человека. Почему гениальности часто сопутствует безумие? Это загадка, которую до сих пор не удалось разгадать.

• О лотереях

  Игра эта давно приобрела массовый характер и стала неотъемлемой частью современной жизни. И хотя лотерея всё больше расширяет свои возможности, многие люди по-прежнему видят в ней лишь способ обогащения. Пусть и не бесплатный и не надёжный. С другой стороны, как заметил один из героев Джека Лондона, в азартной игре нельзя не считаться с фактами — людям иногда везёт.

• Брайан Дэвис: «Куда идет математика?»
  На протяжении тысячелетий считалось, что математика открывает неопровержимые вечные истины. Множество замечательных математических утверждений, таких как теоремы евклидовой геометрии, верны в наши дни, точно так же, как и две тысячи лет назад. И тем не менее в XX веке математика пережила три глубоких кризиса, которые существенно меняют статус математического исследования.

• Фракталы в природе
  Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны.

• Геометрия мыльных пузырей до сих пор озадачивает математиков
  Игорь Иванов
  Как соединить два мыльных пузыря, чтобы минимизировать их суммарную площадь поверхности (включая перегородку)? Ответ на этот вопрос интуитивно очевиден, но строгое математическое решение этой задачи было дано лишь в 2000 году. Тот же вопрос для трех и более пузырей до сих пор остается открытым. Немногим лучше обстоит дело и в плоском случае. Несмотря на все достижения математики, геометрия пузырьковых кластеров остается очень сложной задачей.

• Математики заинтересовались структурой подсолнухов

  Математики из Университета Аризоны разработали модель, которая позволяет объяснить особую спиральную структуру, которая часто встречается в живой природе — у подсолнухов, артишоков, капусты и других растений.

• Решена задача о непериодичном замощении плоскости фигурами одной формы
  Предложен вариант непериодичной мозаики, покрывающей плоскость, в котором используются плитки одной формы, но двух различных раскрасок.

Далее >>>

Проблемы логики (1)

Гипотеза Кука

Может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной,
чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки?

Недавно установлена связь между гипотезой Ж.Эдмондса и проблемой С.А.Кука.

Допустим, находясь в большой компании, Вы хотите убедиться, что там же находится Ваш знакомый.
Если Вам скажут, что он сидит в углу, то Вам достаточно доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации.
В отсутствии этой информации Вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.

Точно так же, если кто-то сообщит Вам, что число 13717421 можно представить, как произведение двух меньших чисел,
непросто быстро убедиться в истинности информации, но если Вам сообщат, что исходное число можно разложить на множители 3607 и 3803,
то это утверждение легко проверяется с помощью калькулятора.

Это примеры иллюстрируют общее явление: решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.
Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной,
чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки.

Эта проблема является одной из нерешенных проблем логики и информатики.
Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

Институт Клэйя

Под таким названием известна частная некоммерческая организация, штаб-квартира которой находится в Кембридже, штат Массачусетс. Она была основана в 1998 году гарвардским математиком А. Джеффи и бизнесменом Л. Клэйем. Целью деятельности института является популяризация и развитие математических знаний. Для ее достижения организация выдает премии ученым и спонсирует многообещающие исследования.

В начале 21 столетия Математический институт Клэйя предложил премию тем, кто решит проблемы, которые известны, как самые сложные нерешаемые задачи, назвав свой список Millennium Prize Problems. Из «Списка Гильберта» в него вошла только гипотеза Римана.

Решённые задачи[править | править код]

Гипотеза Пуанкареправить | править код

Основная статья: Гипотеза Пуанкаре

Считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации.

Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена в 2010 году российскому математику Григорию Перельману, опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы, но учёный отказался эту премию принять, как раньше отказался от Филдсовской премии.

Турбулентность

Турбулентность в жидкостях окружает нас всюду. Струя, вытекающая из крана, полностью распадается на хаотичные частицы жидкости, отличные от единого потока, которые мы получаем, когда открываем кран. Это один из классических примеров турбулентности, который используется для объяснения явления школьникам и студентам. Турбулентность распространена в природе, ее можно встретить в различных геофизических и океанических потоках. Она также важна для инженеров, поскольку часто рождается в потоках над лопастями турбин, закрылками и другими элементами. Турбулентность характеризуется случайными колебаниями в таких переменных, как скорость и давление.

Хотя на тему турбулентности было проведено много экспериментов и получено много эмпирических данных, мы все еще далеки от убедительной теории о том, что именно вызывает турбулентность в жидкости, как она контролируется и что именно упорядочивает этот хаос. Решение проблемы осложняется еще и тем, что уравнения, определяющие движение жидкости — уравнения Навье-Стокса — весьма трудно анализировать. Ученые прибегают к высокопроизводительным методикам вычислений, наряду с экспериментами и теоретическими упрощениями в процессе изучения явления, но полной теории турбулентности нет и нет. Таким образом, турбулентность жидкости остается одной из важнейших нерешенных проблем физики на сегодняшний день

Нобелевский лауреат Ричард Фейнман назвал ее «наиболее важной нерешенной проблемой классической физики». Когда квантового физика Вернера Гейзенберга спросили, если бы он предстал перед Богом и получил возможность попросить его о чем угодно, что бы это было, физик ответил: «Я задал бы ему два вопроса

Почему относительность? И почему турбулентность? Думаю, на первый вопрос у него точно будет ответ».

Ресурс Digit.in получил шанс поговорить с профессором Роддамом Нарасимхой и вот, что тот ответил:

Важность изучений турбулентности породила новое поколение вычислительных методик. Решение, хотя бы приблизительное, теории турбулентности позволит науке делать лучшие прогнозы погоды, проектировать энергоэффективные автомобили и самолеты и лучше понимать различные природные явления

Хождение по академиям

— Однако рассказать о нем оказалось сложнее, чем сделать, — посетовала Ляля Гиззатовна. — С января 2018 года звонила, писала, умоляя чиновников от науки об одном — выслушайте! Но наталкивалась на глухую стену непонимания. Письма нераспечатанными возвращали назад. В телефонных переговорах после слов о том, что мне удалось найти трисекцию угла, обещали перезвонить и не перезванивали. Вероятно, принимали за сумасшедшую. Ведь во всех учебниках написано, что решения у этой задачи нет…

Тренируй мозги: Шесть коварных задачек по математике

Сначала учительница обратилась в Минобрнауки РФ, однако оттуда ее перенаправили в Российскую академию наук. В РАН сослались на реорганизацию и попросили написать в математический институт имени В.А. Стеклова, где объяснили, что занимаются высшей математикой, а вопросы, касающиеся элементарной математики, — компетенция специально созданного института по работе с научными открытиями.

— Директор этого учреждения, услышав голос «очередного изобретателя вечного двигателя», посоветовал получше изучить геометрию, в которой черным по белому записано, что задача о трисекции угла не имеет решения. А когда я начала его убеждать, посоветовал сначала опубликовать работу в каком-нибудь научном издании, а уж потом отнимать время у академиков, — вспоминает этот разговор учительница.

Дальше была переписка с Казанским и Новосибирским отделениями РАН, откуда Ляля Гиззатовна получила выдержку из Википедии. В итоге письмо учительницы вернулось обратно в Минобрнауки РФ, и круг замкнулся…

Проблемы теории чисел (3)

Задачи по теории чисел принадлежат к области высшей арифметики.

Гипотеза Берча-Свиннертона-Дайера

Берч и Свиннертон-Дайер предпoложили, что числo решений опрeделяeтся значением связанной с уравнением дзета-функции в точке 1:
если значение дзета-функции в точке 1 равно 0, то имеется бескoнечнoе число решeний,
и наобopот, если не равно 0, то имеется только конечное число таких решений
(например, доказательство отсутствия целых решений уравнения xn + yn = zn ).

Гипотеза Римана и распределение простых чисел

Простые числа (те, которое делится без остатка только на единицу и на само себя) —
это ключ к разрешению многих математических проблем,
они также играют большую роль в криптографии (шифровании),
благодаря чему интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку.

Первым проблему определения простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен
примерно в 220 году до нашей эры, предложив один из путей определения простых чисел.
С тех пор ученые постепенно продвигались вперед.

Знаменитая «Гипотеза Римана» была сформулирована немецким математиком
Георгом Фридрихом Бернардом Риманом в 1859 году.
Согласно ей, характер распределения простых чисел может существенно отличаться от предполагаемого в настоящее время.
Дело в том, что математикам до сих пор не удавалось обнаружить какой-либо системы
в характере распределения простых чисел.

Так, считается, что в окрестности целого числа х среднее расстояние
между последовательными простыми числами пропорционально логарифму х.
Тем не менее, уже давно известны так называемые парные простые числа
(простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2): 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61.
Иногда они образуют целые скопления, например 101, 103, 107, 109 и 113.

У математиков давно существовало подозрение, что такие скопления существуют и в области очень больших простых чисел,
однако ни доказать, ни опровергнуть это утверждение до сих пор не удавалось.
Если такие «кластеры» будут найдены, стойкость криптографических ключей, используемых в настоящее время,
может в одночасье оказаться под очень большим вопросом.

Великая теорема Ферма

Великая теорема Ферма.

История решения Великой Теоремы Ферма.

Статьи математиков (любителей и профессионалов) с попыткой доказать ВТФ

• Статьи А.А. Назарова:

Гипотеза Эстерле-Массера

Независимо друг от друга abc-гипотеза предложена математиками Дэвидом Массером в 1985 году и Джозефом Эстерле в 1988 году,
а ее решение составляет одну из главных проблем теории чисел.
Гипотеза утверждает, что для любого действительного числа r > 1 существует не более конечного числа троек натуральных чисел a, b и c таких,
что для них выполняются условия: a + b = c; a, b и c взаимно просты в совокупности (то есть у них нет общих делителей) и c > rad (abc)r.

Радикалом (rad) натурального числа N называется число, которое представляет собой произведение всех различных простых
(отличных от единицы чисел, делящихся только на себя и на единицу) делителей числа N.
Например, rad(15) = 15, так как у этого числа простые делители 3 и 5, а rad(18) = 6,
поскольку простых делителей у числа 18 ровно два — это 3 и 2.

Гипотеза Эстерле-Массера важна для теории диофантовых уравнений, а ее справедливость позволит провести
еще одно доказательство великой теоремы Ферма для больших степеней.

«Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики.
Доказательство Мотидзуки занимает более 500 страниц текста, а понять и проверить его способно небольшое число математиков.
У эксперта может уйти до 500 часов работы для понимания доказательства, тогда как у математика-аспиранта это займет около десяти лет.

Статьи математиков-энтузиастов по решению задач теории чисел

Гипотезы и возможные доказательства решения проблем простых чисел, в т.ч. Диофантовых уравнений, проблем Ландау и Гольдбаха.

• Белотелов В.А. (г. Заволжье) — статьи о числах:
• Статьи Александра Щербакова о чётных числах:
  • О четных числах в виде разности двух вычетов (двух простых чисел) .
  • О четных числах в узлах квадратных решеток .

Математики справились с задачей, мучившей человечество 2200 лет.
В последние десятилетия на помощь математикам в проверке делимости огромных чисел пришли компьютеры.
Трое математиков индийского института технологии в городе Канпур, объявили, что разработали метод,
позволяющий безошибочно и быстро определять, простым ли является то или иное число.