Соотношение неопределенностей в квантовой механике. соотношение неопределенностей гейзенберга (кратко)

Интерпретации квантовой механики

Основная статья: Интерпретация квантовой механики

Существует множество интерпретаций квантовой теории, которые иногда плохо согласуются друг с другом.

С точки зрения философии позитивизма, разногласия в интерпретациях не влияют на предсказания исходов конкретных экспериментов в рамках квантовой теории, и потому интерпретации являются нефальсифицируемыми, а следовательно, и ненаучными концепциями. Практическая ценность различных интерпретаций усматривается их сторонниками в некотором упрощении хода рассуждений при рассмотрении различных экспериментов, или обосновывается философскими соображениями.

Есть и другая точка зрения по данному вопросу:

Для выбора между конкурирующими научными теориями одного лишь опыта недостаточно. Кроме опыта, важными компонентами научного творчества являются интуиция, психология и философские соображения. Эталон для построения научной теории называется парадигмой. Смысл научных революций заключается не в смене одной фундаментальной теории другой под влиянием новых фактов, а в смене научных парадигм.

Интерпретации квантовой механики

Примечания[править]

1. Для каждой пары сопряжённых величин имеется свое соотношение неопределённостей, хотя и имеющее один и тот же вид
   \(\Delta A\cdot\Delta B\geqslant\hbar\); поэтому этот термин часто употребляются во множественном числе (соотношения неопределённостей), как в том случае, когда речь идет о соотношениях неопределённостей вообще, так и в случаях, когда имеются в виду несколько конкретных соотношений для разных величин, а не для только одной пары.
2. Существуют, однако, способы частичного обхода этих ограничений, связанные со слабыми измерениями.
3. Это в принципе касается не только частиц, но и любых динамических объектов, например, поля, для которого аналогом координат у частицы служат полевые переменные, а аналогом компонент импульса у частицы — канонические импульсы, связанные с изменением поля со временем.
4. В примере с частицей в коробке модуль импульса, правда, определен, но зато не определено его направление
5. Проще всего это свойство может быть проиллюстрировано таким рассуждением. Пусть есть некоторая функция f(x) и ее фурье-образ (спектр) F(k) — то есть \(f(x) = \int F(k) e^{ikx} dk\). Очевидно, что если мы «сожмем функцию f» по x в A раз, то есть перейдем к функции f_A(x)=f(Ax)), то ее спектр растянется во столько же раз: F_A(k)=const·F(k/A), поскольку частота каждой спектральной гармоники \(e^{ikx}\) этого разложения должны будут очевидно умножиться на A. Эта иллюстрация, строго говоря, конечно, носит довольно частный характер, однако она обнажает физический смысл иллюстрируемого свойства: когда мы сжимаем сигнал, его частоты во столько же раз увеличиваются. Не намного сложнее прямым вычислением получить аналогичный вывод для случая гауссовых волновых пакетов, показав, что полуширина гауссова волнового пакета обратно пропорциональна полуширине его спектра (имеющего также гауссов вид). Могут быть доказаны и более общие теоремы, сводящиеся точно к соотношению неопределенностей Гейзенберга, только без \(\hbar\) в правой части (или, иначе говоря, в точности повторяющие соотношению неопределенностей Гейзенберга при \(\hbar = 1\)).
6. Здесь имеются в виду погрешности, имеющие не квантовую природу, а происходящих из недостаточной тонкости изготовления, влияния тепловых и других шумов итп.

Неопределенность и действие в микро- и макромире

Физическое действие частицы выражается через фазу волны вероятности с коэффициентом ħ = h/2π. Следовательно, действие, как фаза, управляющая амплитудой волны, связано со всеми вероятными траекториями, и вероятностная неопределенность в отношении параметров, образующих траекторию, принципиально неустранима.

Действие пропорционально координате и импульсу. Эту величину можно представить и как разность между кинетической и потенциальной энергией, проинтегрированную по времени. Короче говоря, действие – это мера того, как изменяется движение частицы за некоторое время, и оно зависит, в частности, от ее массы.

В случае если действие значительно превышает постоянную Планка, наиболее вероятной становится траектория, определяемая такой амплитудой вероятности, которой соответствует наименьшее действие. Соотношение неопределенностей Гейзенберга кратко выражает то же самое, если его видоизменить с учетом того, что импульс равен произведению массы m на скорость v: Δx∙Δv_x ≥ ħ/m. Сразу становится видно, что с увеличением массы объекта неопределенности становятся все меньше, и при описании движения макроскопических тел вполне применима классическая механика.

Краткий обзор

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений.

Согласно принципу неопределённости у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс). Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определённый импульс и полностью неопределённая пространственная координата — или полностью неопределённый импульс и полностью определённая координата).

Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни определённым значением импульса (учитывая его направление!), ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована в пределах всего пространства коробки, то есть её координаты не имеют определённого значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределённостей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье.

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что px=ℏkx,{\displaystyle p_{x}=\hbar k_{x},} то есть импульс в квантовой механике — это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни (наблюдая макроскопические объекты или микрочастицы, перемещающиеся в макроскопических областях пространства) мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение ℏ{\displaystyle \hbar } чрезвычайно мало, и поэтому являющиеся следствием соотношений неопределённости эффекты настолько ничтожны, что не улавливаются измерительными приборами или органами чувств.

Принцип неопределенности

Тем временем Поль Дирак, совершенно независимо от Геттингенской группы, представил квантовую механику на новом языке операторов. В Цюрихе Эрвин Шредингер применил другой подход и в 1926 году разработал волновую механику — другую форму квантовой механики, которая оказалась, как показал Шредингер, эквивалентной матричному методу.

Но Гейзенберг и другие приверженцы матричной механики сразу же начали борьбу в защиту своей концепции, причем с обеих сторон она принимала все более эмоциональную окраску. Ни одна из сторон не желала пойти на уступки, что означало бы признание профессионального превосходства противников. Сама суть и будущее направление развития квантовой механики стали предметом спора в научном мире.

По крайней мере три события, случившиеся в 1926 году, вызвали у Гейзенберга ощущение пропасти между его идеями и точкой зрения Шредингера. Первое из них — цикл лекций, прочитанный Шредингером в Мюнхене в конце июля и посвященный его новой физике. На этих лекциях молодой Гейзенберг доказывал переполненной аудитории, что теория Шредингера не объясняет некоторых явлений. Однако он не сумел никого убедить и покинул аудиторию в подавленном состоянии. Затем на осенней конференции немецких ученых и врачей Гейзенберг стал свидетелем полной и ошибочной, с его точки зрения, поддержки идей Шредингера.

Наконец, в Копенгагене в сентябре 1926 года между Бором и Шредингером разгорелась дискуссия, в которой ни одна из сторон не добилась успеха. В итоге было признано, что никакую из существующих интерпретаций квантовой механики нельзя считать вполне приемлемой.

А в феврале 1927 года Гейзенберг неожиданно дал нужную интерпретацию квантовой теории в статье «О квантово-теоретическом истолковании кинематических и механических соотношений», посвященной принципу неопределенности.

Согласно принципу неопределенности, одновременное измерение двух так называемых сопряженных переменных, таких как положение (координата) и импульс движущейся частицы, неизбежно приводит к ограничению точности. Чем более точно измерено положение частицы, тем с меньшей точностью можно измерить ее импульс, и наоборот. В предельном случае абсолютно точное определение одной из переменных ведет к полному отсутствию точности при измерении другой.

Совместно с идеями таких светил, как Нильс Бор и Макс Борн, принцип неопределенности Гейзенберга вошел в логически замкнутую систему «копенгагенской интерпретации», которую Гейзенберг и Борн перед встречей ведущих физиков мира в октябре 1927 года объявили полностью завершенной и неизменяемой. Эта встреча, пятая из знаменитых Сольвеевских конгрессов, произошла всего через несколько недель после того, как Гейзенберг стал профессором теоретической физики в Лейпцигском университете. Будучи всего двадцати пяти лет от роду, он стал самым молодым профессором в Германии.

Гейзенбергу удалось сделать Лейпциг новым центром современной теоретической физики вместе с другим учеником Зоммерфельда — Питером Дебаем, который занимал кафедру экспериментальной физики, и Фридрихом Хундом, который стал экстраординарным профессором теоретической физики в 1929 году.

К началу 1930-х новое поколение теоретиков, таких как Феликс Блох, Рудольф Пайерльс, Эдвард Теллер, Виктор Вайскопф, Карл Фридрих фон Вайцзеккер, широко распространило идеи «школы Гейзенберга». В Лейпциг съехались студенты и научные сотрудники со всего мира, в том числе Этторе Майорана из Италии, Ласло Тиса из Венгрии, Сейси Кикути, Синъитиро Томонага и Сатоси Ватанабэ из Японии. Многие из них заработали свои первые академические лавры под руководством Гейзенберга, применив квантовую механику к физике твердого тела.

После визита к Гитлеру Планк убедил Гейзенберга, что физическая профессия будет лучше защищена тихими усилиями за кулисами, чем открытым протестом

dhm.de

Интерпретации

Основная статья: Интерпретация квантовой механики

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом, время уже точно известно. Мы всё ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдёт, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно даётся соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности), произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель, может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «Бог не играет в кости». Нильс Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50% орёл, 50% решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут всё ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что в квантовой механике существуют скрытые переменные, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости — результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Электрон в атоме

Можно оценить, используя соотношение неопределенностей, ширину энергетического уровня, например, атома водорода, то есть разброс значений энергии электрона в нем. В основном состоянии, когда электрон пребывает на низшем уровне, атом может существовать бесконечно долго, иначе говоря, Δt→∞ и, соответственно, ΔE принимает нулевое значение. В возбужденном же состоянии атом пребывает лишь некоторое конечное время порядка 10-8 с, а значит, обладает неопределенностью энергии ΔE = ħ/Δt ≈ (1,05∙10-34 Дж∙с)/(10-8 с) ≈ 10-26 Дж, что составляет около 7∙10-8 эВ. Следствием этого является неопределенность частоты излучаемого фотона Δν = ΔE/ħ, проявляющаяся как наличие у спектральных линий некоторой размытости и так называемой естественной ширины.

Мы можем также путем несложных вычислений, используя соотношение неопределенностей, оценить и ширину разброса координаты электрона, проходящего через отверстие в препятствии, и минимальные размеры атома, и величину его низшего энергетического уровня. Соотношение, выведенное В. Гейзенбергом, помогает в решении множества задач.

Принцип неопределённости в популярной литературе

Принцип неопределённости часто неправильно[источник не указан 2930 дней] понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка состоит в том, что наблюдение события изменяет само событие[источник не указан 2199 дней]. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (). Например, проекции импульса на оси x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y} можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузного семечка пальцем. Эффект известен — нельзя предсказать, как быстро или куда семечко исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала «Звёздный Путь» в телепортаторе. Однако неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала Джина Родденберри спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

В романе «Дюна» Фрэнка Герберта: «Предвиденье, — понял он, — словно луч света, за пределами которого ничего не увидишь, он определяет точную меру… и, возможно, ошибку». Оказывается, и в его провидческих способностях крылось нечто вроде принципа неопределённости Гейзенберга: чтобы увидеть, нужно затратить энергию, а истратив энергию, изменишь увиденное.»

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название сделали его источником ряда шуток. Утверждают, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости специалиста по квантовой физике останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро вы ехали, сэр?» На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

Принцип неопределённости Гейзенберга

Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми, определяемыми некоммутирующими операторами.

Неопределенность между координатой и импульсом

Пусть Δx{\displaystyle \Delta x} — среднеквадратическое отклонение координаты частицы M{\displaystyle M}, движущейся вдоль оси x{\displaystyle x}, и Δp{\displaystyle \Delta p} — среднеквадратическое отклонение её импульса. Величины Δx{\displaystyle \Delta x} и Δp{\displaystyle \Delta p} связаны следующим неравенством:

где h{\displaystyle h} — постоянная Планка, а ℏ=h2π.{\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}.}

Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и импульс частицы. С повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается и наоборот. Те параметры, для которых такое утверждение справедливо, называются канонически сопряженными.

Это центрирование на измерении, идущее от Н.Бора, очень популярно. Однако соотношение неопределенности выводится теоретически из постулатов Шрёдингера и Борна и касается не измерения, а состояний объекта: оно утверждает, что для любого возможного состояния выполняются соответствующие соотношения неопределенности. Естественно, что оно будет выполняться и для измерений. Т.е. вместо «с повышением точности измерения координаты максимальная точность измерения импульса уменьшается» следует говорить: «в состояниях, где неопределенность координаты меньше, неопределенность импульса больше».

Неопределенность между энергией и временем

Пусть ΔE{\displaystyle \Delta E} — среднеквадратическое отклонение при измерении энергии некоторого состояния квантовой системы, и Δt{\displaystyle \Delta t} — время жизни этого состояния. Тогда выполняется следующее неравенство,

Иными словами, состояние, живущее короткое время, не может иметь хорошо определённую энергию.

При этом, хотя вид этих двух соотношений неопределенности похож, но их природа (физика) совершенно различны.

Следопыт

Вернер Карл Гейзенберг родился 5 декабря 1901 года в Вюрцбурге, в Северной Баварии. Когда ему было девять лет, семья переехала в Мюнхен. Именно там он впоследствии примкнул в молодежной группе под названием Pfadfinder («Следопыт»), которая на многие годы во многом определила его взгляды на жизнь, мораль и политику. По мнению историков, национализм положительно оценивался большинством членов группы, хотя и не был обязательным для «следопыта». А в семнадцать лет Гейзенберг стал лидером одной из групп «следопытов». Весной 1919 года она активно участвовала в операциях против мюнхенской Советской Республики — это была недолгая попытка установления коммунистического режима в Баварии после революционных потрясений конца Первой мировой войны.

 «Я ожидаю огромных достижений Гейзенберга, который, по моему мнению, является самым одаренным из всех моих учеников, включая Дебая и Паули»

«Я никогда не думал, что смогу интересоваться политикой, — писал Гейзенберг другу-“следопыту” в 1923 году, — потому что мне казалось, что это чисто денежный бизнес». И Гейзенберг поддерживал отношения с членами своей группы даже после того, как в 1925 году он опубликовал свою знаменитую работу по квантовой механике. Они продолжали встречаться раз в неделю в его доме. А по выходным отправлялись в походы в Альпы или на озеро близ Мюнхена, где занимались спортом. У Гейзенберга, по воспоминаниям его окружения, было мало друзей или даже знакомых вне этого молодежного движения.

Гейзенберг и бомба

После начала Второй мировой войны нацистское правительство поручило Гейзенбергу научное руководство Институтом физики имени кайзера Вильгельма в Берлине, вместе с Отто Ганом. Институт находился в ведении армейского управления боеприпасов из-за его центральной роли в координации секретного уранового проекта. Вместе с другими учеными-ядерщиками, называвшими себя «урановым клубом», Гейзенберг начал исследовать возможное использование в военное время открытого Ганом ядерного распада. В частности, ядерные реакторы для подлодок и возможность создания новой бомбы, которая «на несколько порядков превосходит взрывную мощь сильнейших взрывчатых веществ», как утверждал Гейзенберг в своем раннем докладе в декабре 1939 года.

По сей день физики и историки физики спорят о мотивах Гейзенберга и его роли в этой работе.

 Марк Уокер, автор исследований по истории ядерных исследований в Германии времен Второй мировой войны утверждает, что не отношение Гейзенберга к проекту определило ход проекта атомной бомбы, а то, что армейское управление боеприпасов потеряло к нему интерес в 1942 году

Согласно одной из версий, отстаиваемой отдельно журналистами Робертом Юнгом и Томасом Пауэрсом, Гейзенберг намеренно задерживал продвижение проекта, поскольку ему претила мысль об атомной бомбе в руках Гитлера. Но историк Пол Роуз придерживается противоположной точки зрения. Он считает, что Гейзенберг упорно пытался построить атомную бомбу, но потерпел неудачу. Собственная версия Гейзенберга состояла в том, что он и другие ученые из «уранового клуба» были избавлены от этого решения, потому что они не добились достаточного прогресса из-за обстоятельств войны.

Марк Уокер, автор исследований по истории ядерных исследований в Германии времен Второй мировой войны, утверждает, что не отношение Гейзенберга к проекту определило ход проекта атомной бомбы, а то, что армейское управление боеприпасов потеряло к нему интерес в 1942 году, потому что проект не мог дать результатов достаточно скоро, чтобы повлиять на исход войны.

Конец диалога

Теперь давайте ПОПРОБУЕМ представить себе НАРИСОВАННУЮ волну, которая ОДНОВРЕМЕННО была бы и где-то четко локализована и частоту четкую имела бы! Ну как? Не выходит?

А почему? Что, запрет какой-то или что? Гейзенберг, гад, в мозги залез и гипнотизирует?

Нет!

Просто мир такой! Бывает и такое! Просто бывает, и все, и нет в этом ничего удивительного!

Просто некоторые величины в физике, с которыми мы давно знакомы, оказались проявлениями вот таких вот штуковин, как я описал выше.

Например, если вещество – это просто складки на пространстве-времени, а координаты – это местоположение складок, а импульс – частота складок, то ясный пень, невозможно одновременно определить точно и координату и импульс!

Предпосылки вывода соотношения неопределенностей

Вероятностная интерпретация волновой природы частиц, введенная в науку М. Борном в 1926 г., четко указывала на то, что к явлениям на масштабах атомов и электронов неприменимы классические представления о движении. В то же время и некоторые аспекты матричной механики, созданной В. Гейзенбергом как метод математического описания квантовых объектов, потребовали выяснения их физического смысла. Так, этот метод оперирует дискретными наборами наблюдаемых величин, представляемыми в виде особых таблиц – матриц, а их перемножение обладает свойством некоммутативности, проще говоря, A×B ≠ B×A.

Применительно к миру микрочастиц это можно интерпретировать следующим образом: результат операций по измерению параметров A и B зависит от порядка их проведения. Кроме того, неравенство означает, что эти параметры нельзя измерить одновременно. Гейзенберг исследовал вопрос о взаимосвязи измерения с состоянием микрообъекта, поставив мысленный эксперимент по достижению предела точности одновременного измерения таких параметров частицы, как импульс и координата (подобные переменные называют канонически сопряженными).