Топ-10 интересных фактов о математике

Введение

Математика является фундаментом для любой современной научной дисциплины. И ни для кого не секрет, что почти все методы современной науки о данных (включая машинное обучение) строятся на тех или иных математических вычислениях.

Порой, будучи специалистом по обработке и анализу данных (или даже junior-аналитиком ) необходимо знать базовую математику, чтобы правильно применять ее методы. Для других целей можно использовать API или уже готовый алгоритм.

Но, в то же время, владение хорошими знаниями по математике, на которой строится ваш алгоритм для создания рекомендации по использованию продукта, никогда не навредит. Это даст вам преимущество перед вашими конкурентами и поможет вам сохранить уверенность в своих знаниях. Всегда полезно знать, что находится под капотом, а не просто сидеть за рулем, ничего не зная о машине.

Конечно, вам понадобятся и другие знания, навыки программирования, немного деловой хватки, уникальное аналитическое мышление и любознательность, касающиеся данных, которые так необходимы для ведущего специалисте по обработке и анализу данных. В данной статье я попытался собрать самые важные математические понятия, чтобы помочь вам в этом начинании.

Бытовые факты

По подсчетам математиков существует 177 147 возможных способов для завязывания галстука, правда история умалчивает о том, как образом они пришли к такому результату: опытным путем или с помощью вычислений.

Компьютерный пасьянс «Солитер» («Свободная ячейка») считается одним из самых легких с математической точки зрения, поскольку вероятность того, что выпадет решаемый расклад – 99,99%.

Американские исследователи обнаружили удивительный факт: по тестам по математике лучшие результаты показывают студенты, которые во время их написания жуют жвачку.

Сумма точек, располагающихся на противоположных сторонах на игральной кости, всегда равна 7.

Если в группе находится 23 или более человек, то вероятность, что у двоих из них день рождения приходится на один день превышает 50%, тогда как для группы от 60 человек этот показатель приближается к 99%.

Существует 2 способа разрезать торт 8 равных частей, сделав только 3 касания ножа.

Каждый раз во время перемешивания стандартной карточной колоды образуется последовательность, которая, вероятнее всего, ранее ни разу не выпадала. Количество возможных комбинаций расположения карт составляет 8х1067 или 52!. Чтобы получить минимум 50% вероятность повторного выпадения комбинации, понадобится перемешать карты 9х1033 раз.

Своим именем бренд Google обязан термину Googol, который выглядит как 1 со 100 нулями или 10100.

Число «пи» имеет два собственных праздничных дня: 14 марта (у американцев эта дата записывается кратко как 3.14) и 22 июля (поскольку 3.14 – это результат деления 22 на 7).

Рекламная кампания американской сети фаст-фудов A&W закончилась провалом по банальной причине. Они рекламировали гамбургер весом 1/3 фунта, который стоил дешевле аналогичного продукта из Макдональдса весом 1/4 фунта. К тому же по мнению покупателей новый сэндвич был более вкусным. Позднее выяснился удивительный факт: именно незнание математики (а именно дробей) потенциальными клиентами привело к неудаче. Большинство покупателей посчитало предложение невыгодным, основываясь на том, что 3 меньше, чем 4.

Судьба

Невезение не кончилось! Уже отрецензированная Кошем огромная работа Галуа, предназначавшаяся для конкурса в Парижской академии наук, была этим рецензентом и утеряна безвозвратно. Единственное, что Кош мог сделать, это сказать, что она была прекрасна. Следующая работа Эвариста Галуа была послана Фурье с той же целью — для получения премии от Академии наук. Фурье её прочитал. И через несколько дней умер.

Потом Галуа публикует 3 свои работы и получает отзыв от Пуассона, где красиво и честно было высказано, что никто из математиков не может разобраться в этой научной работе и сделать выводы о какой-либо точности вычислений. Даже в ночь перед дуэлью Галуа не забыл о том, что он гений. Он написал несколько писем, одно из них — своему лучшему другу, который впоследствии и донёс до потомков те труды, о которых попросил автор. И человечество до сих пор благодарно этому гениальному юноше.

Жюль Анри Пуанкаре. 1854–1912

Последний в ряду математиков-универсалов, который в научной деятельности охватил все математические знания своей эпохи. Автор более 500 научных трудов признан величайшим учёным.

Жюль Анри Пуанкаре разработал теорию дифференциальных уравнений, что стало великим открытием для математической науки. Он внёс свой весомый вклад в разработку теории относительности. Его имя звучит во многих теоремах, в том числе знаменитая теорема о векторном поле и разложении интегралов.

Как только Анри ознакомился с трудами Эйнштейна, он прекратил свои исследования по разработке теории относительности. Незадолго до смерти два великих учёных встретились на Сольвеевском конгрессе в 1911 году.

10 стран, которые могли бы существовать.

15

Якоб, Иоганн и Даниил Бернулли

Якоб и Иоганн Бернулли — родные братья, швейцарские ученые-математики, и их открытия касаются математического анализа и оснований теории вероятности. Якоб родился в 1655 году, а Иоганн — в 1667. Они вместе придумали начала вариационного исчисления. Кроме того, Якоб — автор закона больших чисел — теоремы Бернулли. Много лет он был профессором математики университета в Базеле, членом Берлинской и Парижской академий наук.

Братья были, кроме всего прочего, богословами и полиглотами — свободно владели греческим, латинским, английским, итальянским и французским языками (немецкий — само собой). Якоб был ещё и магистром философии. Он изучал идеи Декарта, дружил с Гюйгенсом, Бойлем и Гуком, полезно и длительно переписывался с Лейбницем. Самостоятельно освоил интегральные и дифференциальные исчисления, «заразил» этим занятием младшего брата.

Впоследствии появился победный триумвират: братья Бернулли и Лейбниц 20 лет вели за собой всех математиков Европы. Таким образом, заложенные братьями основы математического анализа чрезвычайно обогатились. Бернулли — ученые-математики, и их открытия послужили открытию школу анализа в Париже, помогли овладеть методами интегрирования дробей, позволили вычислять площади плоских фигур. Также братья вывели правило, раскрывающее неопределённости. Якоб Бернулли, как Архимед, выбрал для своего надгробия изображение — логарифмическую спираль. Он медленно умер от туберкулёза в 1705 году. Именем братьев Бернулли назван кратер на Луне.

Иоганн был знаменит не менее старшего брата. Он решил множество труднейших математических задач — о геодезических линиях с их геометрическим свойством и специальным дифференцированным уравнением. Также он исследовал брахистохрону, которая позволила развиваться вариационному исчислению. Его сын Даниил был физиком-универсалом, создавшим математическую физику, механику, основы гидродинамики и кинетической теории газов.

О цифрах и числах

Если сложить все числа от 1 до 100, их сумма будет равна 5050.

2 и 5 – единственные простые числа (то есть те, которые делятся только на сами себя и на 1) которые заканчиваются на 2 и 5.

Зеркальные числа, то есть те, что читаются в обеих направлениях одинаково, имеют название палиндромы (к примеру, 12321 или 4567654).

Самое большое число в мире, которое имеет название и встречается в словарях, пишется как 1 и 600 нулей (или 10600) и называется центиллион.

Самое маленькое число пока существует без названия и является десятичной дробью, у которой сразу после запятой и перед 1 следует 100 миллионов триллионов триллионов триллионов нулей. Ученые используют его только для вычисления вероятности развития новой Вселенной из любого атома.

Самым мистическим считается 666 – как говорится в одном из стихов книги Откровения, знак антихриста. С ним связаны различные удивительные факты не только в математике, но и в повседневной жизни:

• Сумма значений, нарисованных на барабане рулетки в казино составляет 666, поэтому ее часто называют «чертово колесо».
• По негласной традиции кресло в Европарламенте под номером 666 всегда остается пустым.
• В большинстве стран невозможно встретить маршрут поезда или общественного транспорта, номер шоссе, телефонный код или другие объекты с маркировкой 666.
• Психологическое заболевание, связанное с боязнью знака 666 называется – гексакосиойгексеконтагексафобия (Hexakosi-oidekahexaphobia).

Философия математики

Основная статья: Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, при n>3{\displaystyle n>3} является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Основная статья: Основания математики

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

Теоретико-множественный подход

Основная статья: Теория множеств

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей).
Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

Логицизм

Основная статья: Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

Формализм

Основная статья: Формализм (математика)

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.

Интуиционизм

Основная статья: Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Основная статья: Конструктивная математика

Конструктивная математика — близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения[прояснить]. Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным». Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.

Возвести в нулевую степень

Ещё по этой теме

Девять фильмов с яркими математическими эпизодами

С самыми простыми операциями проблем не возникает: прибавить ноль или вычесть его из числа — число остаётся тем же, умножить на ноль — получится ноль… Всё это укладывается в рамки здравого смысла. Сложнее становится при возведении в нулевую степень. В школе сообщают, что результатом в каждом случае будет единица. Откуда она взялась?

Тут рассудок уже пасует. Степень — это, как известно, то, сколько раз мы берём число как множитель самого себя.

22 = 2 ∙ 2 = 4
21 = 2

Если степень нулевая, число не является множителем ни разу, но… как из этой пустоты «родилась» единица?

Чаще всего в школе этот вопрос решается догматически: на объяснения не остаётся желания и сил. А ведь именно здесь пролегает одна из границ, за которой простая арифметика, наглядно показываемая на яблоках и прочих исчислимых вещах, становится уже чистой и прекрасной абстракцией.

Вспомним правила обращения с числами, возводимыми в степень, и представим себе следующий пример:

xn/ xn

В отношениях с одинаковыми основаниями степеней мы можем делать следующее:

xn/ xn= xn-n = x
Одновременно с этим мы понимаем, что результат деления любого числа на само себя — это единица.

Так вот чудесным образом, благодаря только принятию ноля как числа, мы переходим к новому странному открытию, и математика совершает куда более далёкий прыжок от реальности, чем просто представление «у меня ноль конфет».

Но именно внутренняя логика системы, которая может быть понята умом, но не может быть представлена в вещественном мире — это и есть красота абстракции.

Рост качества образования в начальной школе

Результаты российских учащихся 4 классов по математике (564 балла) и по естествознанию (567 баллов) существенно превышают среднее значение международной шкалы TIMSS, свидетельствует последний мониторинг 2015 года, итоги которого подвела IEA. По сравнению с результатами предыдущего исследования, проведенного в 2011 году, Россия поднялась с 10 на 7 место, обойдя Англию, Финляндию и Бельгию и закрепившись в группе мировых лидеров, среди которых также оказались Сингапур, Гонконг, Республика Корея, Тайвань и Япония. Результаты остальных стран, участвовавших в исследовании, в том числе США, Германии, Франции, Австралии, Канады, оказались существенно ниже российских.

Уровень подготовки российских школьников 4-х классов по естествознанию значительно превысил результаты учащихся большинства стран — участниц TIMSS. Наша страна поднялась с 5-й позиции на 4-ю, обойдя Финляндию. Учащиеся 43 стран показали естественнонаучные знания ниже, чем у школьников из России (среди них Гонконг, Тайвань, США, все участвовавшие в исследовании страны Европы).

«Итоги исследования подтверждают позитивный эффект внедрения федерального государственного образовательного стандарта начальной школы, по сравнению с результатами 2011 года российские четвероклассники по уровню математической грамотности поднялись на 21 балл, естественнонаучной — на 15 баллов. Образовательный стандарт 2009 года изменил приоритеты в начальном образовании — акцент с формирования предметных знаний, умений и навыков сместился на развитие у младшего школьника умения учиться, формирование способности применять знания для разрешения типовых и новых учебных и практических ситуаций. Приоритетными задачами стали развитие интереса к изучаемым предметам и формирование личностных качеств», — прокомментировал ТАСС результаты исследования руководитель Рособрнадзора Сергей Кравцов.

По сравнению с 2011 годом результаты российских выпускников начальной школы значительно улучшились по всем содержательным областям математики и естествознания, а также по всем группам познавательной деятельности.

60% российских учащихся 4-х классов показали высокий уровень подготовки по математике и естествознанию. Они способны применять свои знания для решения достаточно сложных задач и обосновывать свое решение, а значит эффективно продолжать обучение в основной школе.

Анри Пуанкаре

Анри Пуанкаре Генри Пуанкаре вместе с Мари Кюри на Сольвеевской конференции 1911 года

Известен: проблема с тремя телами; Теория хаоса; Теорема Пуанкаре – Хопфа

По словам Эрика Белла, известного шотландского математика, Анри Пуанкаре был, вероятно, одним из последних универсалистов, поскольку в то время он процветал почти во всех известных областях математики.

В течение своей жизни Пуанкаре внес многочисленные теории в области математической физики, прикладной математики и астрономии. Он сыграл важную роль в разработке теории специальной теории относительности .

Более того, его исключительные работы по преобразованию Лоренца и проблеме трех тел проложили путь математикам, а также астрофизикам к открытиям о нашей планете и космосе. Его теоретические работы даже вдохновили известных художников, таких как Пикассо и Брак, создать художественное движение (кубизм) в 20-м веке.

Основные сведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом, первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики.

Франсуа Виет

Сын прокурора, будучи сеньором де ля Биготье, Франсуа Виет прожил очень насыщенную событиями жизнь. Он родился в 1540 году во Франции. Учился сначала у францисканцев в монастыре, затем — в университете. Несмотря на то что ему приходилось быть политиком и даже знатным интриганом, математический талант победил. Ученые-математики, биография которых складывалась скромнее, вряд ли смогли бы сделать для науки больше. Франсуа Виет стал основоположником символической алгебры, а к 30-летнесу возрасту настолько много занимался тригонометрией, что подготовил капитальный труд — «Математический канон».

Ученики у него были во множестве. И даже ученицы. Одна из них сделала прекрасную партию, выйдя замуж за принца, и не забыв своего учителя. Благодаря ей у Виета карьера удалась: он был советником у двух Генрихов — III и IV, королей Франции. Однажды сумел расшифровать письма испанских шпионов, за что Филипп II, король Испании, обвинил математика в чёрной магии. Но провидение никогда не даст пропасть таланту в интригах, даже дворцовых.

Однажды Виет попал в опалу и целых 4 года занимался только математикой. Тогда и был придуман им символический язык алгебры, которым мы пользуемся до сих пор. Его многочисленные труды были изданы по большей части посмертно. Из них человечество узнало, как можно ясно, просто и компактно описывать законы арифметики. Выдающиеся ученые-математики высоко оценили эту символику и в разных странах в разное время её начали понемногу совершенствовать.

Абсолютно современный вид она приобрела через 2 века, после Декарта. Кроме алгебраической символики, Виету принадлежат формулы, названные его именем, новые тригонометрические методы решений кубического неприводимого уравнения, пример бесконечного произведения, поданный впервые, формула Виета (приближение числа). Понадобилось бы несколько страниц, чтобы перечислить всё остальное. Имя Франсуа Виета носит кратер на Луне.