Что такое простые числа

Кубические простые числа

Простые числа вида x3−y3x−y,x=y+1{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+1}

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317 (последовательность A002407 в OEIS).

а также x3−y3x−y,x=y+2{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+2}

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249

(последовательность A002648 в OEIS).

Миллиард = биллион?

Такое слово, как биллион, применяется для обозначения миллиарда только в тех государствах, в которых за основу принята «короткая шкала». Это такие страны, как Российская Федерация, Соединенное Королевство Великобритании и Северной Ирландии, США, Канада, Греция и Турция. В других странах понятие биллион означает число 1012 , то есть один и 12 нулей. В странах с «короткой шкалой», в том числе в России, эта цифра соответствует 1 триллиону.

Такая неразбериха появилась во Франции в то время, когда происходило становление такой науки, как алгебра. Изначально у миллиарда было 12 нулей. Однако все изменилось после появления основного пособия по арифметике (автор Траншан) в 1558 году), где миллиард — это уже число с 9 нулями (тысяча миллионов).

Несколько последующих столетий эти два понятия употреблялись наравне друг с другом. В середине 20 века, а именно в 1948 году, Франция перешла на длинную шкалу системы числовых наименований. В связи с этим, короткая шкала, некогда позаимствованная у французов, все же отличается от той, которой они пользуются сегодня.

Исторически сложилось так, что Соединенное Королевство использовало долгосрочный миллиард, но с 1974 года официальная статистика Великобритании использовала краткосрочную шкалу. С 1950-х годов краткосрочная шкала все чаще использовалась в области технической письменности и журналистики, несмотря на то, что по-прежнему сохранялась долгосрочная шкала.

История использования нуля

Впервые появился в Индии, где именовался санскритским словом «сунья» («пустота»; «отсутствие»), и широко использовался в поэзии и священных текстах. Через арабов, называвших его «сифр» (отсюда слова «цифра» и лат. zero, ноль), попал в Западную Европу.

Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля, начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не означал «число 0». Хотя в их системе счисления 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали для обозначения нуля иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц.

Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).

В китайских цифрах для обозначения нуля пользуются знаком 〇 — одним из иероглифов императрицы У Цзэтянь.

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление нуля, однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

Исследования показали, что манускрипт Бакхшали содержит, вероятно, самое древнее упоминание ноля.

Абак

Счётная доска, состоящая из углублений, соответствующих определенным разрядам, в которые укладываются камешки или бусины, знакома культурам разных народов и эпох. Известны и другие разновидности абака – веревки с узелками или шнуры с бусинами. Следующей ступению в развития такого приспособления стали счеты, применявшиеся до появления калькуляторов.

История числа ноль – это процесс возникновения математического понятия и начало применения символа, его обозначающего. И абак, и счёты являются в некотором смысле и средством визуализации числового ряда. Пустое место в соответствующем углублении или отсутствующая костяшка на счетах делала абстрактное понятие нуля наглядным. Символ, обозначающий его, впервые появился у математиков и астрономов Древнего Вавилона.

Ноль в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод..

В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает .массив M,M1…Mn−1.{\displaystyle M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.} Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике −=+={\displaystyle -0=+0=0}; то есть −,+{\displaystyle -0,+0} представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование). На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

Пометки нулей, чтобы не путать их с буквой О

При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру с латинской или русской буквой О, что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация, : {\displaystyle {\cancel {0}}}. Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву О, а не нуль. В начале эпохи персональных компьютеров в текстовом режиме работы дисплея и на многих матричных принтерах нуль также выводился в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля). На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в ​​центре. В современных компьютерных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется. Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода, но может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00.

Примечания

1. ↑
2. .
3. Нуль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1082.
4. Нуль // Большой Энциклопедический словарь (рус.). — 2000. // Большой Энциклопедический словарь. 2000.
5. Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.
6. ↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — С. 9. — 560 с.
7. . NCSU COE People. Дата обращения 12 августа 2019.
8. ↑ Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М.: «Педагогика», 1989. — С. 219.
9. Брич З. С., Воюш В. И., Дегтярёва Г. С., Ковалевич Э. В. Программирование на языке Ассемблера ЕС ЭВМ. — М.: Статистика, 1976. — 296 с. — С. 13—14, 19.
10. Кулаковская В. П., Романовская Л. М., Савченко Т. А., Фельдман Л. С. Кобол ЭВМ Минск-32. Пособие для работников вычислительных центров. — М.: Статистика, 1973. — 284 с.
11. Брябрин В. М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. 3-е изд. — М.: Наука, 1990. — 272 с. — ISBN 5-02-014824-5. — С. 17, 113—114.
12. Смирнов Н. Н. Программные средства персональных ЭВМ. — Л.: Машиностроение, 1990. — 272 с. — ISBN 5-217-00029-5. — С. 13, 80—81.
13. Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 116. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
14. .
15.  (англ.). The Guardian (14 September 2017). Дата обращения 19 сентября 2017.
16. Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 115. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
17. «Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.
18. Депман И. Я. История Арифметики. — изд. «Просвещение», Москва, 1965, стр. 89.
19. Депман И. Я. История Арифметики. — изд. «Просвещение», Москва, 1965, стр.90
20. Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third Edition) (англ.). — Princeton University Press, 2011. — P. 86. — ISBN 978-0-691-13526-7.

Десять триллионов

Ноль в языке и культуре

• «Мы почитаем всех нулями, а единицами — себя» — цитата из поэмы Пушкина «Евгений Онегин» (глава 2, строфа 14), употребляется иронически, когда говорят о чьем-либо завышенном самомнении и пренебрежительном отношении к окружающим.
• На нуле — отсутствие чего-либо. Например, «финансы на нуле» (разговорное употребление).
• Ноль в переносном значении означает ничтожного, незначительного человека, например: «Он абсолютный ноль».
• Выражение ноль без палочки, когда идёт речь о человеке, означает, что он не имеет никакого влияния, значения (разговорное и шутливое употребление), а также некомпетентного, глупого человека.
• Ноль внимания — отсутствие внимания.
• Выражение ноль-ноль, употребляемое после указания часа суток, означает: ровно в таком-то часу, без минут. В спорте это же выражение может обозначать ничейный исход игры, состязания.
• С нуля начинать — начинать на пустом месте (разговорное употребление) или приступать к чему-либо без предварительной подготовки.
• Стричь под ноль — то же, что стричь наголо.

Родина ноля — Индия

Что же изобрели индийские математики? Махавира (850 г.), Брахмагупта (1114 г.), Ариабхата (476 г.) — авторы трактатов, в которых во многом оформилась современная система записи чисел и правила основных арифметических операций. Историки считают, что десятичность системы счисления была заимствована индийцами у китайцев, а позиционный характер её – у вавилонян. Есть мнение, что символ нуля был также заимствован индийцами из работ Птолемея.

Первым из математиков, сформулировавшим законченную числовую систему, которая остается до сих пор в неизменном виде и служит большей части человечества, был Хорезми Мухаммед бен Муса (787-850), живший в Багдаде. В его «Книге об индийском счете» подробно описаны девять арабских цифр и дан ответ на вопрос: «Является ли 0 числом?» Упоминание нуля в этой книге считается первым. Латинский перевод этого труда, стал широко известен в Европе в XII веке и положил начало распространению восточных математических знаний.

В отличие от европейцев, вечность у восточных философов вызывала благоговение. Поэтому ноль в уравнениях древнеиндийских ученых окончательно стал не только символом отсутствия единиц в соответствующем разряде, но и натуральным числом, влияющим на результат вычислений. Прибавление ноля, умножение на 0 – всё это обрело значение осмысленных математических операций.

Само написание цифр от 1 до 0 обрело окончательный вид тоже благодаря древнеиндийским математическим трактатам, и те символы, что в Европе принято называть арабскими, сами арабы называют индийскими.

История числа «ноль» нашла отражение в этимологии основных математических терминов. Слово «цифра» имеет арабские корни и происходит от слова «аль-сифр», что означает «пустой, нуль». Английское «зеро» отдаленно напоминает «зефир» — ветер с востока, — именно с Востока в Европу пришла окончательно оформленная, рациональная и удобная числовая система.

1 миллиард — это много?

Существуют две шкалы измерения — короткая и длинная. Во всем мире в области науки и финансов 1 миллиард составляет 1 000 миллионов. Это по короткой шкале. По ней это число с 9 нулями.

Существует также длинная шкала, которая используется в некоторых европейских странах, в том числе во Франции, и раньше использовалась в Великобритании (до 1971 года), где миллиард составлял 1 миллион миллионов, то есть единица и 12 нулей. Эту градацию еще называют долгосрочным масштабом. Короткая шкала теперь является преобладающей при решении финансовых и научных вопросов.

Некоторые европейские языки, такие как шведский, датский, португальский, испанский, итальянский, голландский, норвежский, польский, немецкий, используют миллиард (или биллион) имеенно в этой системе. В русском языке число с 9 нулями также описывается для короткой шкалы тысяча миллионов, а триллион — это миллион миллионов. Это позволяет избежать лишней путаницы.

Числа

Арабские цифры в Европе

Одним из главных европейских пропагандистов арабской цифровой системы стал знаменитый итальянский математик Леонардо Фибоначчи. Его труд «Книга абака» (1202) познакомил европейских ученых с символами и правилами, с помощью которых арабы записывают математические операции. Первыми удобство и рациональность восточной математической модели оценили те, кто привык к ежедневному обращению с числами, – банкиры и торговцы. Они быстро переняли от арабских купцов систему счисления и написание цифр. Но в научную практику Европы эти знания плотно вошли только через 4 века, сменив принятую европейскими математиками античную систему.

Важное значение ноль обрел с введением в научный обиход прямоугольной системы координат, предложенной в XVII веке Рене Декартом. Ноль, расположенный в центре, приобрел значение зримой и визуально понятной точки отсчета трех осей координат

В России ноль вводился в практику стараниями Леонтия Магницкого, автора знаменитого учебника «Арифметика, сиречь наука числительная» (1703).

Свойства ноля

Ноль, который разграничивает положительные и отрицательные числа, обладает уникальными математическими свойствами. Это четное, не имеющее знака натуральное целое число. Сложение с нулем и вычитание нуля никак не влияет на число, а умножение на 0 даёт ноль. Деление на ноль считается не имеющей смысла операцией, которое в случае выполнения в компьютерной программе может нанести системе существенный вред.

Именно в попытке деления на 0 оказался смысл сбоя в компьютерной системе крейсера ВМФ США «Йорктаун», который произошел осенью 1997 года и привел к несанкционированному выключению двигательной установки. Некоректное отношение к числу, означающему «ничто», превратило мощный военный корабль в беспомощную неподвижную цель.

Значение этого числа существенно возрастало с развитием науки. Нуль возникает в областях не только чисто математических. Порог слышимости в акустике принимается за 0. Какое число стоит в начале шкалы многих измерительных приборов, известно и школьнику: 0 на шкале Цельсия – точка замерзания воды, начало отсчета долготы – нулевой меридиан и т. д.

Бинарное счисление, послужившее основой для создания современных вычислительных устройств, является позиционной системой счисления с основанием два. Это означает, что все данные, вводимые в компьютерные системы, кодируются сочетанием двух символов – единицы и нуля.

Роль компьютеров в современном мире становится определяющей для всех сторон жизни, а значит, история числа ноль, без которого их появление было бы невозможно, продолжается.

Ноль или нуль: возможны оба варианта

Теперь мы знаем, что правильность выбора «ноль» или «нуль» зависит от контекста фразы и от эпохи. Если вы пишете исторический роман, логично будет использовать «нуль», если речь идет о математическом примере — «ноль». Возможно, однажды «нуль» покинет русский язык, как и многие слова, которые устарели и ушли из языка за ненадобностью.

Какое из этих слов «важнее» в языке — неправильная постановка вопроса. Они совершенно равноправны и пока оба употребляются в тех или иных ситуациях. В свободном употреблении, в обычной разговорной речи, ошибиться не так страшно. Кроме того, иногда это придает фразе экспрессии и окрашивает нужными эмоциями.

Ссылки

• Скачать выпуски телеигры «Десять миллионов»

The Money Drop

Некоторые свойства простых чисел.

Допустим, p — простое, и p делит ab, тогда p делит a либо b.

Кольцо вычетов Z_nбудет называться полем только в случае, если n — простое.

Характеристика всех полей — это нуль либо простое число.

Когда p — простое, а a — натуральное, значит, ap-a можно поделить на p (малая теорема Ферма).

Когда G — конечная группа, у которой порядок |G| делят на p, значит, у G есть элемент порядка p (теорема Коши).

Когда G — конечная группа, и pn — самая высокая степень p, делящая |G|, значит,  у G есть подгруппа порядка pn, которая называется силовская подгруппа, кроме того, число силовских подгрупп соответствует pk+1 для некоего целого k (теоремы Силова).

Натуральное p > 1 будет простым лишь в случае, если (p-1)! + 1 можно подулить на p (теорема Вильсона).

Когда n > 1 — натуральное, значит, есть простое p: n < p < 2 n (постулат Бертрана).

Ряд чисел, которые обратны к простым, расходится. Кроме того, при .

Всякая арифметическая прогрессия типа  a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, … , где  a, q > 1 — целые взаимно простые числа, содержит нескончаемое число простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

Любое простое число, которое большее тройки, можно представить как 6k+1 либо 6k-1, где k — натуральное число. Исходя из этого, когда разность нескольких последовательных простых чисел (при k>1) одинаковая, значит, она точно делится на шесть — к примеру: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

Когда p > 3 — простое число, значит, p2-1 делится на 24 (работает и на нечётных чисел, которые не делятся на три).

Теорема Грина-Тао. Есть бесконечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел.

Ни одно простое число нельзя представить как nk-1, где n>2, k>1. Другими словами, число, которое следует за простым, не может быть квадратом либо более высокой степенью с основанием, которое больше двух. Можно сделать вывод, что когда простое число представлено как 2k-1, значит k — простое.

Ни одно простое число нельзя представить как n2k+1+1, где n>1, k>0. Другими словами, число, которое предшествует простому, не может быть кубом либо более высокой нечётной степенью с основанием, которое больше единицы.

Есть многочлены, у которых множество неотрицательных значений при положительных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Пример:

Этот многочлен содержит 26 переменных, имеет 25. Самая низкая степень для известных многочленов представленного вида  — пять при 42 переменных; самое маленькое количество переменных — десять при степени приблизительно 1,6·1045.