Физика

Третья величина — перемещение

Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.

Здесь может появиться такой вопрос: «Путь — векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается прямолинейное движение в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.

Напряженность электрического поля

Вокруг любого заряженного тела существует электрическое поле, силовой характеристикой которого является его напряженность. Определяется эта напряженность как сила, действующая в данной точке электрического поля на единичный заряд, помещенный в эту точку. Обозначается напряженность электрического поля буквой E→ и измеряется в ньютонах на кулон (Н/Кл). Вектор напряженности направлен вдоль силовой линии электрического поля в ее направлении, если заряд положительный, и против нее, если заряд отрицательный.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, можно определить в любой точке, используя закон Кулона.

Теорема дивергенции (теорема Остроградского – Гаусса)

Теорема дивергенции (теорема Остроградского – Гаусса) является обобщением формулы (4) для конечных объемов. Она утверждает, что для некоторого объема V, ограниченного замкнутой поверхностью S,

и справедлива для всех непрерывных векторных функций U, имеющих непрерывные первые производные всюду в V и на S. Мы не будем приводить здесь доказательство этой теоремы, но ее справедливость можно понять интуитивно, представляя объем V разделенным на ячейки. Поток U через поверхность, общую для двух ячеек обращается в нуль, и только ячейки, находящиеся на границе S внесут вклад в поверхностный интеграл.

Градиент.

В физике часто приходится иметь дело с векторными или скалярными величинами, которые меняются от точки к точке в заданной области. Такие области называются «полями». Например, скаляр может быть температурой или давлением; вектор может быть скоростью движущейся жидкости или электростатическим полем системы зарядов. Если мы выбрали некоторую систему координат, то любой точке P (x, y, z) в заданной области соответствует некоторый радиус-вектор r (= xi + yj + zk) и также значение векторной величины U (r) или скаляра f(r), связанных с ним. Предположим, что U и f определены в области однозначно; т.е. каждой точке соответствует одна и только одна величина U или f, хотя различные точки могут, конечно, иметь различные значения. Допустим, что мы хотим описать скорость, с которой U и f изменяются при передвижении по этой области.

Простые частные производные, такие, как ¶U/¶x и ¶f/¶y, нас не устраивают, потому что они зависят от конкретно выбранных координатных осей. Однако можно ввести векторный дифференциальный оператор, независимый от выбора осей координат; этот оператор называется «градиентом».

Пусть мы имеем дело со скалярным полем f. Сначала в качестве примера рассмотрим контурную карту области страны. В этом случае f – высота над уровнем моря; контурные линии соединяют точки с одним и тем же значением f. При движении вдоль любой из этих линий f не меняется; если двигаться перпендикулярно этим линиям, то скорость изменения f будет максимальной. Мы можем каждой точке сопоставить вектор, указывающий величину и направление максимального изменения скорости f; такая карта и некоторые из этих векторов показаны на рис. 11. Если мы проделаем это для каждой точки поля, то получим векторное поле, связанное со скалярным полем f. Это поле вектора, называемого «градиентом» f, который записывается как grad f или Сf(символ С также называется «набла»).

В случае трех измерений, контурные линии становятся поверхностями. Малое смещение Dr (= iDx + jDy + kDz) приводит к изменению f, которое записывается как

где точками обозначены члены более высоких порядков. Это выражение можно записать в виде скалярного произведения

Разделим правую и левую части этого равенства на Ds, и пусть Ds стремится к нулю; тогда

где dr/ds – единичный вектор в выбранном направлении. Выражение в круглых скобках – вектор, зависящий от выбранной точки. Таким образом, df/ds имеет максимальное значение, когда dr/ds указывает в том же направлении, выражение, стоящее в скобках, является градиентом. Таким образом,

– вектор, равный по величине и совпадающий по направлению с максимальной скоростью изменения f относительно координат. Градиент f часто записывается в виде

Это означает, что оператор С существует сам по себе. Во многих случаях он ведет себя, как вектор, и фактически является «векторным дифференциальным оператором» – одним из наиболее важных дифференциальных операторов в физике. Несмотря на то, что С содержит единичные векторы i, j и k, его физический смысл не зависит от выбранной системы координат.

Какова связь между Сf и f? Прежде всего предположим, что f определяет потенциал в любой точке. При любом малом смещении Dr величина f изменится на

Если q – величина (например масса, заряд), перемещенная на Dr, то работа, выполненная при перемещении q на Dr равна

Так как Dr – перемещение, то qСf – сила; –Сf – напряженность (сила на единицу количества), связанная с f. Например, пустьU – электростатический потенциал; тогда E – напряженность электрического поля, задается формулой

E = –СU.

Допустим, что U создается точечным электрическим зарядом в q кулонов, помещенным в начало координат. Значение U в точке P (x, y, z) с радиус-вектором r задается формулой

где e0 – диэлектрическая постоянная свободного пространства. Поэтому

откуда следует, что E действует в направлении r и его величина равна q/(4pe0r3).

Зная скалярное поле, можно определить связанное с ним векторное поле. Также возможно и обратное. С точки зрения математической обработки скалярными полями оперировать легче, чем векторными, так как они задаются одной функцией координат, в то время как векторное поле требует три функции, соответствующие компонентам вектора в трех направлениях. Таким образом, возникает вопрос: дано векторное поле, может ли мы записать связанное с ним скалярное поле?

Какие действия чаще всего выполняются с векторами?

Сначала — сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.

Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.

Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.

Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.

Основные понятия и законы кинематики

кинематикойМеханическим движениемСистемой отсчётаТелом отсчётаМатериальной точкойТраекториейпрямолинейноекриволинейное
Путь — это длина траектории, которую описывает материальная точка за данный промежуток времени. Это скалярная величина.Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение материальной точки с её конечным положением (см. рис.).

Очень важно понимать, чем путь отличается от перемещения. Самое главной отличие в том, что перемещение — это вектор с началом в точке отправления и с концом в точке назначения (при этом абсолютно неважно, каким маршрутом это перемещение совершалось)

А путь — это, наборот, скалярная величина, отражающая длину пройденной траектории.

Равномерным прямолинейным движением называют движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещенияСкоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло:

Для неравномерного движения пользуются понятием средней скорости. Часто вводят среднюю скорость как скалярную величину. Это скорость такого равномерного движения, при котором тело проходит тот же путь за то же время, что и при неравномерном движении:

Мгновенной скоростью называют скорость тела в данной точке траектории или в данный момент времени.Равноускоренное прямолинейное движение — это прямолинейное движение, при котором мгновенная скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину

Ускорением

Зависимость координаты тела от времени в равномерном прямолинейном движении имеет вид: x = x + V_xt, где x — начальная координата тела, V_x — скорость движения.Свободным падением называют равноускоренное движение с постоянным ускорением g = 9,8 м/с2, не зависящим от массы падающего тела. Оно происходит только под действием силы тяжести.

Скорость при свободном падении рассчитывается по формуле:
Перемещение по вертикали рассчитывается по формуле:

Одним из видов движения материальной точки является движение по окружности. При таком движении скорость тела направлена по касательной, проведённой к окружности в той точке, где находится тело (линейная скорость). Описывать положение тела на окружности можно с помощью радиуса, проведённого из центра окружности к телу. Перемещение тела при движении по окружности описывается поворотом радиуса окружности, соединяющего центр окружности с телом. Отношение угла поворота радиуса к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошёл, характеризует быстроту перемещения тела по окружности и носит название угловой скорости
ω:
Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением где r — радиус окружности.
Время, за которое тело описывает полный оборот, называется периодом обращения. Величина, обратная периоду — частота обращения — ν
Поскольку при равномерном движении по окружности модуль скорости не меняется, но меняется направление скорости, при таком движении существует ускорение. Его называют центростремительным ускорением, оно направлено по радиусу к центру окружности:

Примеры векторов. Как они обозначаются

Что подразумевается под вектором? То, что характеризует движение

Не важно, в пространстве или на плоскости. Какая величина является векторной вообще? Например, летит самолет с определенной скоростью на какой-то высоте, имеет конкретную массу, начал движение из аэропорта с нужным ускорением

Что относится к движению самолета? Что заставило его лететь? Конечно, ускорение, скорость. Векторные величины из курса физики являются наглядными примерами. Говоря прямо, векторная величина связана с движением, перемещением.

Вода тоже движется с определенной скоростью с высоты горы. Видите? Движение осуществляется за счет не объема или массы, а именно скорости. Теннисист дает возможность мячику двигаться при помощи ракетки. Он задает ускорение. К слову сказать, приложенная в данном случае сила также является векторной величиной. Потому что она получается вследствие заданных скоростей и ускорений. Сила способна также меняться, осуществлять конкретные действия. Ветер, который колышет листья на деревьях, тоже можно считать примером. Так как имеется скорость.

Скалярные произведения.

Если под действием некоторой силы F точка, к которой она приложена, перемещается на расстояние r, то выполненная работа равна произведению r и компоненты F в направлении r. Эта компонента равна F cos бF, rс, где бF, rс – угол между F и r, т.е.

Произведенная работа = Fr cos бF, rс.

Это – пример физического обоснования скалярного произведения, определенного для любых двух векторов A, B посредством формулы

AЧB = AB cos бA, Bс.

Так как все величины правой части уравнения – скаляры, то

AЧB = BЧA;

следовательно, скалярное умножение коммутативно.

Скалярное умножение также обладает свойством дистрибутивности:

AЧ(B + С) = AЧB + AЧС.

Если векторы A и B перпендикулярны, то cos бA, Bс равен нулю, и, поэтому, AЧB = 0, даже если ни A,ни B не равны нулю. Именно поэтому мы не можем делить на вектор. Допустим, что мы разделили обе части уравнения AЧB = AЧC на A. Это дало бы B = C, и, если бы можно было бы выполнить деление, то это равенство стало бы единственным возможным результатом. Однако, если мы перепишем уравнение AЧB = AЧC в виде AЧ(B – C) = 0 и вспомним, что (B – C) – вектор, то ясно, что (B – C) необязательно равен нулю и, следовательно, B не должен быть равным C. Эти противоречивые результаты показывают, что векторное деление невозможно.

Скалярное произведение дает еще один способ записи численного значения (модуля) вектора:

AЧA = AAЧcos 0° = A2;

поэтому

Скалярное произведение можно записать и другим способом. Для этого вспомним, что:

A = A_x i + A_yj + A_zk.

Заметим, что

Тогда,

Поскольку последнее уравнение содержит x, y и z в качестве нижних индексов, уравнение, казалось бы, зависит от выбранной конкретной системы координат. Однако это не так, что видноиз определения, которое не зависит от выбранных координатных осей.

Как отличить скалярную величину от векторной?

Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.

Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.

При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.

Скалярное и векторное произведения

Умножение векторов можно выполнять двумя различными способами: скалярно и векторно.

Скалярным произведением векторных величин называется такой способ их умножения, результатом которого является одно число, то есть скаляр. В матричном виде скалярное произведение записывается как строки компонента 1-го вектора на столбец компонент 2-го. В итоге в n-мерном пространстве получается формула: (A→*B→) = a₁*b₁+a₂*b₂+…+a_n*b_n.

В 3-мерном пространстве можно определить скалярное произведение иначе. Для этого нужно умножить модули соответствующих векторов на косинус угла между ними, то есть (A→*B→) = |A→|*|B→|*cos(θ_AB). Из этой формулы следует, что если вектора направлены в одном направлении, то скалярное произведение равно умножению их модулей, а если вектора перпендикулярны друг другу, тогда оно оказывается равным нулю. Отметим, что модуль вектора в прямоугольной системе координат определяется как квадратный корень от суммы квадратов компонент этого вектора.

Под векторным произведением понимают такое умножение вектора на вектор, результатом которого также является вектор. Его направление оказывается перпендикулярно каждому из умножаемых параметров, а длина равна произведению модулей векторов на синус угла между ними, то есть A→ x B→ = |A→|*|B→|*sin(θ_AB), где значок «x» обозначает векторное произведение. В матричном виде этот вид произведения представляется как определитель, строками которого являются элементарные вектора данной системы координат и компоненты каждого вектора.

Как скалярное, так и векторное произведения используют в математике и физике для определения многих величин, например, площади и объема фигур.

Далее в статье приводятся примеры векторных величин в физике.

Задача о переправе через реку

Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v₁ и собственная скорость катера v₂. 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?

Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая — собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй — векторами скоростей.

Из них следует такая запись: s / l = v₁ / v₂. После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v₁ / v₂).

2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v₁ и v₂. Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v₁ и v₂. Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.

v = √(v₂2 – v₁2), тогда t = l / (√(v₂2 – v₁2)).

Ответ. 1). s = l * (v₁ / v₂), 2). sin α = v₁ / v₂, t = l / (√(v₂2 – v₁2)).

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

• скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
• векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

• правило параллелограмма
• правило треугольника
• тригонометрический способ

Правило параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
• от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
• дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
• результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
• от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
• результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА

Предположим, что вектор U является функцией одной скалярной переменной t. Например, U может быть радиус-вектором, проведенным из начала координат до перемещающейся точки, а t – временем. Пусть t изменится на небольшую величину Dt, что приведет к изменению U на величину DU. Это показано на рис. 9. Отношение DU/Dt – вектор, направленный в том же направлении, что и DU. Мы можем определить производную U по t, как

при условии, что такой предел существует. С другой стороны, можно представить U как сумму компонент по трем осям и записать

Если U – радиус-вектор r, то dr/dt – скорость точки, выраженная как функция времени. Продифференцировав по времени еще раз, мы получим ускорение. Предположим, что точка перемещается вдоль кривой, показанной на рис. 10. Пусть s – расстояние, пройденное точкой вдоль кривой. В течение малого интервала времени Dt точка пройдет расстояние Ds вдоль кривой; положение радиус-вектора изменится на Dr. Следовательно Dr/Ds – вектор направленный как Dr. Далее

есть единичный вектор, касательный к кривой. Это видно из того, что при приближении точки Q к точке P, PQ приближается к касательной и Dr приближается к Ds.

Формулы для дифференцирования произведения подобны формулам для дифференцирования произведения скалярных функций; однако, так как векторное произведение антикоммутативно, порядок умножения должен быть сохранен. Поэтому,

Таким образом, мы видим, что, если вектор является функцией одной скалярной переменной, то мы можем представить производную почти также, как в случае скалярной функции.

Первая величина — скорость

С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.

Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.

Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.

Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость — векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.

Задача о неупругом ударе

Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. Массы платформы и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы «вагон-платформа» после удара.

Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара — v₁, вагона с платформой после сцепки — v, масса вагона m₁, платформы — m₂. По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.

Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.

В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и реакция опоры уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.

Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс — произведение m₁ и v₁.

Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.

Можно записать такое равенство: m₁ * v₁ = (m₁ + m₂) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m₁ * v₁ / (m₁ + m₂).

По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.

Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.

Физическая величина сила

Сила — векторная физическая величина, которая отражает интенсивность взаимодействия между телами. Обозначается она символом F→, измеряется в ньютонах (Н). По определению, 1 Н — это сила, способная за каждую секунду времени изменять скорость тела, имеющего массу 1 кг, на 1 м/с.

Эта физическая величина широко применяется в физике, поскольку с ней связаны энергетические характеристики процессов взаимодействия. Природа силы может быть самой разной, например, гравитационные силы планет, сила, которая заставляет двигаться автомобиль, упругие силы твердых сред, электрические силы, описывающие поведение электрических зарядов, магнитные, ядерные силы, которые обуславливают стабильность атомных ядер, и так далее.

Умножение вектора на скаляр.

Произведение mA или Am, где m (m № 0) – скаляр, а A – ненулевой вектор, определяется как другой вектор, который в m раз длиннее A и имеет тоже направление что и A, если число m положительно, и противоположное, если m отрицательно, как показано на рис. 4, где m равно 2 и –1/2 соответственно. Кроме того, 1A = A, т.е. при умножении на 1 вектор не изменяется. Величина –1A – вектор, равный A по длине, но противоположный по направлению, обычно записывается как –A. Если А – нулевой вектор и(или) m = 0, то mA – нулевой вектор. Умножение дистрибутивно, т.е.

Мы можем складывать любое число векторов, причем порядок слагаемых не влияет на результат. Верно и обратное: любой вектор раскладывается на две или более «компоненты», т.е. на два вектора или более, которые, будучи сложенными, в качестве результирующего дадут исходный вектор. Например, на рис. 2, A и B – компоненты C.

Многие математические действия с векторами упрощаются, если разложить вектор на три компоненты по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Выберем правую систему декартовых координат с осями Ox, Oy и Oz как показано на рис. 5. Под правой системой координат мы подразумеваем, что оси x, y и z располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. Из одной правой системы координат всегда можно получить другую правую систему координат соответствующим вращением. На рис. 5, показано разложение вектор A на три компоненты и . Они в сумме составляют вектор A, так как

Следовательно,

Можно было бы также сначала сложить и получить , а затем к прибавить .

Проекции вектора А на три координатные оси, обозначенные A_x, A_y и A_z называются «скалярными компонентами» вектора A:

где a, b и g – углы между A и тремя координатными осями. Теперь введем три вектора единичной длины i, j и k (орты), имеющие то же самое направление, что и соответствующие оси x, y и z. Тогда, если A_x умножить на i, то полученное произведение – это вектор, равный , и

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие скалярные компоненты. Таким образом, A = B тогда и только тогда, когда A_x = B_x, A_y = B_y, A_z = B_z.

Два вектора можно сложить, складывая их компоненты:

Кроме того, по теореме Пифагора:

Сложение векторов.

Идея сложения векторов возникла из того, что мы можем найти единственный вектор, который оказывает то же воздействие, что и два других вектора вместе. Если для того, чтобы попасть в некоторую точку, нам надо пройти сначала A километров в одном направлении и затем B километров в другом направлении, то мы могли бы достичь нашей конечной точки пройдя C километров в третьем направлении (рис. 2). В этом смысле можно сказать, что

A + B = C.

Вектор C называется «результирующим вектором» A и B, он задается построением, показанным на рисунке; на векторах A и B как на сторонах построен параллелограмм, а C – диагональ, соединяющая начало А и конец В. Из рис. 2 видно, что сложение векторов «коммутативно», т.е.

A + B = B + A.

Аналогичным образом можно сложить несколько векторов, последовательно соединяя их «непрерывной цепочкой», как показано на рис. 3 для трех векторов D, E и F. Из рис. 3 также видно, что

(D + E) + F = D + (E + F),

т.е. сложение векторов ассоциативно. Суммировать можно любое число векторов, причем векторы необязательно должны лежать в одной плоскости. Вычитание векторов представляется как сложение с отрицательным вектором. Например,

A – B = A + (–B),

где, как определялось ранее, –B – вектор, равный В по модулю, но противоположный по направлению.

Это правило сложения может теперь использоваться как реальный критерий проверки, является ли некоторая величина вектором или нет. Перемещения обычно подчиняются условиям этого правила; то же можно сказать и о скоростях; силы складываются таким же образом, как можно было видеть из «треугольника сил». Однако, некоторые величины, обладающие как численными значениями так и направлениями, не подчиняются этому правилу, поэтому не могут рассматриваться как векторы. Примером являются конечные вращения.