Первая космическая скорость

Какой должна быть скорость корабля для полета на Луну?

Для полета корабля на Луну он должен стартовать до орбитальной скорости в 29. тыс. км в час, а потом нарастать примерно до 40 тыс. км в час.

Космический корабль при такой скорости может удалиться на расстоянии, на котором на него уже будет сильнее притяжение Луны, нежели Земли. Современная техника позволяет разрабатывать корабли, которые соответствуют вышеупомянутой скорости перемещения. Но если двигатели корабля не будут действовать, он разгонится притяжением Луны и просто упадет на нее с большой силой, разрушив корабль. По этой причине, если в самом начале пути реактивные двигатели ускоряли космический корабль в направлении к Луне, то когда лунное притяжение сравнивалось с земным, двигатели начинали действовать в противоположном направлении. Таким образом, обеспечивалась мягкая посадка на Луну, при которой все люди на корабле оставались невредимыми.

На Луне нет воздуха, поэтому находится на ней можно исключительно в специальных скафандрах. Первым человеком, который спустился на поверхность Луны, стал американец Нил Армстронг, и это произошло в 1969 году. Тогда произошло первое знакомство человечества с составом лунного грунта. Его изучение позволило лучше понять историю образования Солнечной системы. Тогда геологи надеялись найти на Луне какие-то ценные вещества, которые можно было бы добывать.

Масса Земли существенно превышает массу Луны. Значит, взлететь с последней будет проще и дорога в дальний космос тоже осуществится легче. Не исключено, что в дальнейшем человечество будет использовать эту возможность. Скорость вылета на орбиту намного меньше и составляет 6120 км в час или 1,7 км в секунду.

Вычисление и понимание

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять своё направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Уравнение второго закона Ньютона для тела, принимаемого за материальную точку, движущегося по орбите вокруг планеты c радиальным распределением плотности, можно записать в виде

ma=GMmR2,{\displaystyle ma=G{\frac {Mm}{R^{2}}},}

где m{\displaystyle m} — масса объекта, a{\displaystyle a} — его ускорение, G{\displaystyle G} — гравитационная постоянная, M{\displaystyle M} — масса планеты, R{\displaystyle R} — радиус орбиты.

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью v{\displaystyle v} его ускорение равно центростремительному ускорению v2R .{\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\ .} С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью v1{\displaystyle v_{1}} приобретает вид:

mv12R=GMmR2.{\displaystyle m{\frac {v_{1}^{2}}{R}}=G{\frac {Mm}{R^{2}}}.}

Отсюда для первой космической скорости следует

v1=GMR.{\displaystyle v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}}.}

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты R{\displaystyle R_{0}} и высоты над её поверхностью h{\displaystyle h}. Соответственно, последнее равенство можно представить в виде

v1=GMR+h.{\displaystyle v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R_{0}+h}}}}.}

Подставляя численные значения для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли (h ≈ 0, M = 5,97·1024 кг, R = 6 371 км), получаем

v1≈{\displaystyle v_{1}\approx } 7,9 км/с.

Период обращения спутника по круговой орбите равен:

T=2πRv=2πRRGM.{\displaystyle T={\frac {2\pi R}{v}}=2\pi R{\sqrt {\frac {R}{GM}}}.}

При удалении спутника от центра Земли в 42 200 км период обращения становится равным 24 часа, то есть времени обращения Земли вокруг своей оси. Если запустить на круговую орбиту спутник на такой высоте в сторону вращения Земли в плоскости экватора, то он будет висеть над одним и тем же местом поверхности Земли на высоте 35 800 км (геостационарная орбита).

С увеличением высоты орбиты первая космическая скорость уменьшается. Так, на высоте 100 км над поверхностью Земли она равна 7 844 м/с, а на высоте 300 км — 7 726 м/с.

Другое выражение первой космической скорости имеет вид: v1=gR{\displaystyle v_{1}={\sqrt {gR}}}, где g{\displaystyle g} — ускорение свободного падения на расстоянии R{\displaystyle R} от центра Земли.

Если скорость тела направлена горизонтально и при этом больше первой космической скорости, но меньше второй космической, то орбита представляет собой эллипс.

Примечания

1. // Физическая энциклопедия : / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 474—475. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
2. Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии: учебное пособие / Под ред. В. В. Иванова. — 2-е изд., испр. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — С. 91. — 544 с. — (Классический университетский учебник). — ISBN 5-354-00866-2.
3. ↑ Билимович Б. Ф. Законы механики в технике. — М., Просвещение, 1975. — Тираж 80000 экз. — с. 37-39
4. ↑ Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. — М.: Наука, 1987. — c. 47-48
5. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — c. 178
6. ↑ Рябов Ю. А. Движение небесных тел. — 3-е изд., перераб. — М.: «Наука», 1977. — С. 146.

Вычисление и понимание

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять своё направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Уравнение второго закона Ньютона для тела, принимаемого за материальную точку, движущегося по орбите вокруг планеты c радиальным распределением плотности, можно записать в виде

ma=GMmR2,{\displaystyle ma=G{\frac {Mm}{R^{2}}},}

где m{\displaystyle m} — масса объекта, a{\displaystyle a} — его ускорение, G{\displaystyle G} — гравитационная постоянная, M{\displaystyle M} — масса планеты, R{\displaystyle R} — радиус орбиты.

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью v{\displaystyle v} его ускорение равно центростремительному ускорению v2R .{\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\ .} С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью v1{\displaystyle v_{1}} приобретает вид:

mv12R=GMmR2.{\displaystyle m{\frac {v_{1}^{2}}{R}}=G{\frac {Mm}{R^{2}}}.}

Отсюда для первой космической скорости следует

v1=GMR.{\displaystyle v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}}.}

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты R{\displaystyle R_{0}} и высоты над её поверхностью h{\displaystyle h}. Соответственно, последнее равенство можно представить в виде

v1=GMR+h.{\displaystyle v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R_{0}+h}}}}.}

Подставляя численные значения для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли (h ≈ 0, M = 5,97·1024 кг, R = 6 371 км), получаем

v1≈{\displaystyle v_{1}\approx } 7,9 км/с.

Период обращения спутника по круговой орбите равен:

T=2πRv=2πRRGM.{\displaystyle T={\frac {2\pi R}{v}}=2\pi R{\sqrt {\frac {R}{GM}}}.}

При удалении спутника от центра Земли в 42 200 км период обращения становится равным 24 часа, то есть времени обращения Земли вокруг своей оси. Если запустить на круговую орбиту спутник на такой высоте в сторону вращения Земли в плоскости экватора, то он будет висеть над одним и тем же местом поверхности Земли на высоте 35 800 км (геостационарная орбита).

С увеличением высоты орбиты первая космическая скорость уменьшается. Так, на высоте 100 км над поверхностью Земли она равна 7 844 м/с, а на высоте 300 км — 7 726 м/с.

Другое выражение первой космической скорости имеет вид: v1=gR{\displaystyle v_{1}={\sqrt {gR}}}, где g{\displaystyle g} — ускорение свободного падения на расстоянии R{\displaystyle R} от центра Земли.

Если скорость тела направлена горизонтально и при этом больше первой космической скорости, но меньше второй космической, то орбита представляет собой эллипс.

Вычисление

Для того, чтобы покинуть пределы Солнечной системы с орбиты Земли, ракета массой m{\displaystyle m} должна обладать скоростью относительно Солнца vC{\displaystyle v_{C}}, определяемой законом сохранения энергии

mvC22=GmMCRZC,{\displaystyle {\frac {mv_{C}^{2}}{2}}=G{\frac {mM_{C}}{R_{ZC}}},}

где MC{\displaystyle M_{C}} — масса Солнца, RZC{\displaystyle R_{ZC}} — радиус земной орбиты. Отсюда требуемая скорость ракеты относительно Солнца

vC=2GMCRZC.{\displaystyle v_{C}={\sqrt {\frac {2GM_{C}}{R_{ZC}}}}.}

Ракета вследствие движения вместе с Землей по орбите вокруг Солнца уже обладает скоростью вращения Земли вокруг Солнца, которую можно найти, применив второй закон Ньютона:

GMCmRZC2=mvZ2RZC,{\displaystyle G{\frac {M_{C}m}{R_{ZC}^{2}}}={\frac {mv_{Z}^{2}}{R_{ZC}}},}

откуда

vZ=GMCRZC.{\displaystyle v_{Z}={\sqrt {\frac {GM_{C}}{R_{ZC}}}}.}

Следовательно, при разгоне ракеты в направлении вектора скорости движения Земли по её орбите вокруг Солнца скорость космической ракеты vRZ{\displaystyle v_{RZ}} относительно Земли для выхода за пределы Солнечной системы должна быть равна

vRZ=vC−vZ=vZ(2−1).{\displaystyle v_{RZ}=v_{C}-v_{Z}=v_{Z}({\sqrt {2}}-1).}

Для того, чтобы удалить корабль из поля тяготения Земли, ему надо сообщить вторую космическую скорость

v2=2GMZRZ.{\displaystyle v_{2}={\sqrt {\frac {2GM_{Z}}{R_{Z}}}}.}

Следовательно, кинетическая энергия Ek{\displaystyle E_{k}}, которую надо сообщить космическому кораблю для того, чтобы он покинул Солнечную систему, складывается из кинетической энергии E2{\displaystyle E_{2}}, необходимой для того, чтобы покинуть поле тяготения Земли и кинетической энергии ERZ{\displaystyle E_{RZ}}, необходимой для того, чтобы он с орбиты Земли покинул поле тяготения Солнца

mv322=mv222+mvRZ22,{\displaystyle {\frac {mv_{3}^{2}}{2}}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}+{\frac {mv_{RZ}^{2}}{2}},}

откуда v3=v22+vRZ2{\displaystyle v_{3}={\sqrt {v_{2}^{2}+v_{RZ}^{2}}}}.

Отсюда приходим к формуле:

v3=(2−1)2vZ2+v22,{\displaystyle v_{3}={\sqrt {({\sqrt {2}}-1)^{2}v_{Z}^{2}+v_{2}^{2}}},}

где vZ{\displaystyle v_{Z}} — орбитальная скорость планеты, v2{\displaystyle v_{2}} — вторая космическая скорость для планеты.

Подставляя численные значения (для Земли vZ{\displaystyle v_{Z}} = 29,783 км/с, v2{\displaystyle v_{2}} = 11,182 км/с), найдём

v3≈{\displaystyle v_{3}\approx } 16,650 км/с.

Вторая космическая скорость

Между первой и второй космическими скоростями в нерелятивистском случае существует простое соотношение:

v2=2⋅v1.{\displaystyle v_{2}={\sqrt {2}}\cdot v_{1}.}

Квадрат скорости убегания (второй космической скорости) равен удвоенному ньютоновскому потенциалу на поверхности тела, взятому с обратным знаком:

v22=−2Φ=2GMR.{\displaystyle v_{2}^{2}=-2\Phi =2{\frac {GM}{R}}.}

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) обычно определяется в предположении отсутствия каких-либо других небесных тел. Например, для Луны скорость убегания равна 2,4 км/с, несмотря на то, что в действительности для удаления тела на бесконечность с поверхности Луны необходимо преодолеть притяжение Земли, Солнца и Галактики.

Первая и вторая космические скорости для различных небесных тел

Практическое достижение

При старте с Земли, наилучшим образом используя осевое вращение (≈0,5 км/с) и орбитальное движение планеты (≈29,8 км/с), космический аппарат может достичь третьей космической скорости уже при ~16,6 км/с относительно Земли. Для исключения влияния атмосферного сопротивления предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость за пределами атмосферы Земли. Наиболее энергетически выгодный старт для достижения третьей космической скорости должен осуществляться вблизи экватора, движение объекта должно быть сонаправлено осевому вращению Земли и орбитальному движению Земли вокруг Солнца. При этом скорость движения аппарата относительно Солнца составит

29,8 + 16,6 + 0,5 = 46,9 км/с.

Траектория аппарата, достигшего третьей космической скорости, будет частью ветви параболы, а скорость относительно Солнца будет асимптотически стремиться к нулю.

На начало 2015 г. ни один космический аппарат не покидал окрестностей Земли с третьей космической скоростью. Наибольшей скоростью покидания Земли обладал КА Новые горизонты; эта скорость составила 16,26 км/с (гелиоцентрическая скорость 45 км/с), что меньше третьей космической на 0.34 км/с. Но за счёт гравитационного манёвра у Юпитера в 2007 году он ещё прибавил 4 км/c, что позволит ему в будущем уверенно покинуть гелиосферу. На момент окончания основной части своей миссии (исследование Плутона) «Новые горизонты» удалялись от Солнца с гелиоцентрической скоростью около 14 км/с [источник не указан 2091 день]. Аналогичным образом ускорялись и другие КА, уже покинувшие гелиосферу (Вояджер-1, Вояджер-2, Пионер-10 и Пионер-11). Все они покидали окрестности Земли со скоростями, существенно меньшими третьей космической.

Литература

1. Александров Л. Артиллерийские химеры «Третьего рейха» // Техника — молодёжи. 1980. №11
2. Валье М. Полёт в мировое пространство как техническая возможность / пер. с нем. С. Шорыгина. — М.-Л.: ОНТИ, 1936
3. Дорнбергер В. Фау-2. Сверхоружие Третьего рейха. 1930-1945 / пер. с англ. И. Полоцка. — М.: Центрполиграф, 2004
4. Игнатьев А. Пятьдесят лет в строю. — М.: Воениздат, 1986
5. Каторин Ю., Волковский Н., Тарнавский В. Уникальная и парадоксальная военная техника. — СПб.: Изд-во «Полигон», 2003
6. Козырев М., Козырев В. Необычное оружие Третьего рейха. — М.: Центрполиграф, 2008
7. Маликов В. «Парижская» пушка // Техника — молодёжи. 1987. №3
8. Милин С. Мертворождённые монстры // Техника — молодёжи. 1974. №2
9. Ненахов Ю. «Чудо-оружие» Третьего рейха. — Мн.: Харвест, 1999
10. Первушин А. Битва за звёзды: Ракетные системы докосмической эры. — М.: Изд-во АСТ, 2003
11. Портер Д. Секретное оружие Гитлера. 1933-1945 / пер. с англ. А. Курчакова. — Ростов н/Д: Феникс, 2011
12. Рынин Н. Межпланетные сообщения. Выпуск 5. Суперавиация и суперартиллерия. — Л., 1929
13. Смирнов Г. Было ли оружие под названием Фау-3? // Техника — молодёжи. 1980. №11
14. Форд Р. Немецкое секретное оружие во Второй мировой войне / пер. с англ. Л. Азарха. — М.: АСТ; Астрель, 2002
15. Hogg, I. German Artillery of World War II. London. Greenhill, 2002
16. Irving D. The Mare’s Nest. The War Against Hitler’s Secret Vengeance Weapons. London. William Kimber and Co., 1964
17. Ley, W. Jules Verne, Busy Lizzy and Hitler // Galaxy Science Fiction. 1968. June
18. Ley, W. Rockets Missiles and Men in Space. New York. Viking Press, 1968
19. Zaloga S. German V-Weapon Sites 1943-45. UK. Osprey Publishing Ltd., 2008
20. Zaloga S. Superguns 1854-1991: Extreme Artillery from the Paris Gun and the V-3 to Iraq’s Project Babylon. UK. Osprey Publishing Ltd., 2018

Вычисление

Для того, чтобы покинуть пределы Солнечной системы с орбиты Земли, ракета массой m{\displaystyle m} должна обладать скоростью относительно Солнца vC{\displaystyle v_{C}}, определяемой законом сохранения энергии

mvC22=GmMCRZC,{\displaystyle {\frac {mv_{C}^{2}}{2}}=G{\frac {mM_{C}}{R_{ZC}}},}

где MC{\displaystyle M_{C}} — масса Солнца, RZC{\displaystyle R_{ZC}} — радиус земной орбиты. Отсюда требуемая скорость ракеты относительно Солнца

vC=2GMCRZC.{\displaystyle v_{C}={\sqrt {\frac {2GM_{C}}{R_{ZC}}}}.}

Ракета вследствие движения вместе с Землей по орбите вокруг Солнца уже обладает скоростью вращения Земли вокруг Солнца, которую можно найти, применив второй закон Ньютона:

GMCmRZC2=mvZ2RZC,{\displaystyle G{\frac {M_{C}m}{R_{ZC}^{2}}}={\frac {mv_{Z}^{2}}{R_{ZC}}},}

откуда

vZ=GMCRZC.{\displaystyle v_{Z}={\sqrt {\frac {GM_{C}}{R_{ZC}}}}.}

Следовательно, при разгоне ракеты в направлении вектора скорости движения Земли по её орбите вокруг Солнца скорость космической ракеты vRZ{\displaystyle v_{RZ}} относительно Земли для выхода за пределы Солнечной системы должна быть равна

vRZ=vC−vZ=vZ(2−1).{\displaystyle v_{RZ}=v_{C}-v_{Z}=v_{Z}({\sqrt {2}}-1).}

Для того, чтобы удалить корабль из поля тяготения Земли, ему надо сообщить вторую космическую скорость

v2=2GMZRZ.{\displaystyle v_{2}={\sqrt {\frac {2GM_{Z}}{R_{Z}}}}.}

Следовательно, кинетическая энергия Ek{\displaystyle E_{k}}, которую надо сообщить космическому кораблю для того, чтобы он покинул Солнечную систему, складывается из кинетической энергии E2{\displaystyle E_{2}}, необходимой для того, чтобы покинуть поле тяготения Земли и кинетической энергии ERZ{\displaystyle E_{RZ}}, необходимой для того, чтобы он с орбиты Земли покинул поле тяготения Солнца

mv322=mv222+mvRZ22,{\displaystyle {\frac {mv_{3}^{2}}{2}}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}+{\frac {mv_{RZ}^{2}}{2}},}

откуда v3=v22+vRZ2{\displaystyle v_{3}={\sqrt {v_{2}^{2}+v_{RZ}^{2}}}}.

Отсюда приходим к формуле:

v3=(2−1)2vZ2+v22,{\displaystyle v_{3}={\sqrt {({\sqrt {2}}-1)^{2}v_{Z}^{2}+v_{2}^{2}}},}

где vZ{\displaystyle v_{Z}} — орбитальная скорость планеты, v2{\displaystyle v_{2}} — вторая космическая скорость для планеты.

Подставляя численные значения (для Земли vZ{\displaystyle v_{Z}} = 29,783 км/с, v2{\displaystyle v_{2}} = 11,182 км/с), найдём

v3≈{\displaystyle v_{3}\approx } 16,650 км/с.

Практическое достижение

При старте с Земли, наилучшим образом используя осевое вращение (≈0,5 км/с) и орбитальное движение планеты (≈29,8 км/с), космический аппарат может достичь третьей космической скорости уже при ~16,6 км/с относительно Земли. Для исключения влияния атмосферного сопротивления предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость за пределами атмосферы Земли. Наиболее энергетически выгодный старт для достижения третьей космической скорости должен осуществляться вблизи экватора, движение объекта должно быть сонаправлено осевому вращению Земли и орбитальному движению Земли вокруг Солнца. При этом скорость движения аппарата относительно Солнца составит

29,8 + 16,6 + 0,5 = 46,9 км/с.

Траектория аппарата, достигшего третьей космической скорости, будет частью ветви параболы, а скорость относительно Солнца будет асимптотически стремиться к нулю.

На начало 2015 г. ни один космический аппарат не покидал окрестностей Земли с третьей космической скоростью. Наибольшей скоростью покидания Земли обладал КА Новые горизонты; эта скорость составила 16,26 км/с (гелиоцентрическая скорость 45 км/с), что меньше третьей космической на 0.34 км/с. Но за счёт гравитационного манёвра у Юпитера в 2007 году он ещё прибавил 4 км/c, что позволит ему в будущем уверенно покинуть гелиосферу. На момент окончания основной части своей миссии (исследование Плутона) «Новые горизонты» удалялись от Солнца с гелиоцентрической скоростью около 14 км/с [источник не указан 2091 день]. Аналогичным образом ускорялись и другие КА, уже покинувшие гелиосферу (Вояджер-1, Вояджер-2, Пионер-10 и Пионер-11). Все они покидали окрестности Земли со скоростями, существенно меньшими третьей космической.

Примечания

1. // Физическая энциклопедия : / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 474—475. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
2. Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии: учебное пособие / Под ред. В. В. Иванова. — 2-е изд., испр. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — С. 91. — 544 с. — (Классический университетский учебник). — ISBN 5-354-00866-2.
3. ↑ Билимович Б. Ф. Законы механики в технике. — М., Просвещение, 1975. — Тираж 80000 экз. — с. 37-39
4. ↑ Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. — М.: Наука, 1987. — c. 47-48
5. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — c. 178
6. ↑ Рябов Ю. А. Движение небесных тел. — 3-е изд., перераб. — М.: «Наука», 1977. — С. 146.

Примечания

1. // Физическая энциклопедия : / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 474—475. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
2. Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии: учебное пособие / Под ред. В. В. Иванова. — 2-е изд., испр. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — С. 91. — 544 с. — (Классический университетский учебник). — ISBN 5-354-00866-2.
3. ↑ Билимович Б. Ф. Законы механики в технике. — М., Просвещение, 1975. — Тираж 80000 экз. — с. 37-39
4. ↑ Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. — М.: Наука, 1987. — c. 47-48
5. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — c. 178
6. ↑ Рябов Ю. А. Движение небесных тел. — 3-е изд., перераб. — М.: «Наука», 1977. — С. 146.

Вычисление и понимание

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять своё направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Уравнение второго закона Ньютона для тела, принимаемого за материальную точку, движущегося по орбите вокруг планеты c радиальным распределением плотности, можно записать в виде

ma=GMmR2,{\displaystyle ma=G{\frac {Mm}{R^{2}}},}

где m{\displaystyle m} — масса объекта, a{\displaystyle a} — его ускорение, G{\displaystyle G} — гравитационная постоянная, M{\displaystyle M} — масса планеты, R{\displaystyle R} — радиус орбиты.

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью v{\displaystyle v} его ускорение равно центростремительному ускорению v2R .{\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\ .} С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью v1{\displaystyle v_{1}} приобретает вид:

mv12R=GMmR2.{\displaystyle m{\frac {v_{1}^{2}}{R}}=G{\frac {Mm}{R^{2}}}.}

Отсюда для первой космической скорости следует

v1=GMR.{\displaystyle v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}}.}

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты R{\displaystyle R_{0}} и высоты над её поверхностью h{\displaystyle h}. Соответственно, последнее равенство можно представить в виде

v1=GMR+h.{\displaystyle v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R_{0}+h}}}}.}

Подставляя численные значения для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли (h ≈ 0, M = 5,97·1024 кг, R = 6 371 км), получаем

v1≈{\displaystyle v_{1}\approx } 7,9 км/с.

Период обращения спутника по круговой орбите равен:

T=2πRv=2πRRGM.{\displaystyle T={\frac {2\pi R}{v}}=2\pi R{\sqrt {\frac {R}{GM}}}.}

При удалении спутника от центра Земли в 42 200 км период обращения становится равным 24 часа, то есть времени обращения Земли вокруг своей оси. Если запустить на круговую орбиту спутник на такой высоте в сторону вращения Земли в плоскости экватора, то он будет висеть над одним и тем же местом поверхности Земли на высоте 35 800 км (геостационарная орбита).

С увеличением высоты орбиты первая космическая скорость уменьшается. Так, на высоте 100 км над поверхностью Земли она равна 7 844 м/с, а на высоте 300 км — 7 726 м/с.

Другое выражение первой космической скорости имеет вид: v1=gR{\displaystyle v_{1}={\sqrt {gR}}}, где g{\displaystyle g} — ускорение свободного падения на расстоянии R{\displaystyle R} от центра Земли.

Если скорость тела направлена горизонтально и при этом больше первой космической скорости, но меньше второй космической, то орбита представляет собой эллипс.