Что такое фракталы: бесконечность и красота математики

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Основная статья: Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться.

Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика

Сжатие изображений

Основная статья: Алгоритм фрактального сжатия

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Красота Повтора. Фрактальность Реальности

Фракталы — не просто красивое природное явление. А вы знаете, что при созерцании фракталов в лобной коре головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-волн — как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.

Рассматривание фракталов оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Всем нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке…

Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз тоже фрактален. При совпадении траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность определенных участков мозга.

Фракталы выходят за рамки чистой математики. Они могут дать гораздо больше: например, объяснить явления, находящиеся вне нашего понимания при текущем развитии науки.

Вся фрактальная космология строится на теории бесконечности пространства Вселенной и распределении в нем астрономических объектов по принципу фрактальной размерности.

Фрактальность является одним из самых важных принципов Мироздания, в котором процессы повторяются на различных уровнях.

Для примера рассмотрим хорошо нам знакомую, но мало понятую систему — планету Земля. У неё, как и у человека, тоже есть кровь – вода, есть легкие – деревья, и есть вены – реки. Роль её печени играют камни и песок, через который фильтруются загрязнения и круговорот воды в природе, который отделяет молекулы воды от микро мусора.

Сама же Земля является носителем огромного количества маленьких открытых систем — растения, животные, насекомые, земноводные, человек. И эти системы постоянно взаимодействуют друг с другом.

Человеческое сообщество также организовано в системы – семьи, роды, нации. Эти системы управляются сверх-системами — различными эгрегориальными структурами.

Все вместе эти системы образуют уровни нашей цивилизации, на каждом из которых есть свои правила и механизмы взаимодействия.

__________________________________________________________________________

«Фрактальная геометрия природы» Бенуа Мандельброт

Фото фракталов и описаний к ним от Романа Уфимцева

Информация от digitall_angell

_______________________________________________________

Возможно вам будут интересны следующие статьи:

• Ловушки Мышления. Чёрно-белое Мышление
• Вирус — Перестройка Мира и Пробуждение Духа
• Самореализующееся Пророчество
• Ложь. Эмоции. Отношения
• Смирение. Принятие. Просветление
• Жизненные Ценности. Носитель и сообщение
• Сакральная Геометрия
• Чувство Собственной Значимости
• Человек Осознанный — аудиокнига
• Уровни Развития Сознания
• Сопротивление Жизни
• Духовная Гордыня
• Энергия Мысли, или как Вселенная общается с нами
• Генетическая Травма

Направления работ

Существует множество различных фрактальных изображений, и их можно разделить на несколько групп:

• Фракталы, полученные из стандартной геометрии, с использованием итеративных преобразований на исходной общей фигуре, такой как прямая линия (Кривая Коха), треугольник (Треугольник Серпинского) или куб (Губка Менгера). К этой группе относятся первые фрактальные фигуры, изобретённые в конце XIX и начале XX веков.
• IFS (итерированные функциональные системы)
• Странные аттракторы
• Фрактальное пламя
• Фракталы L-системы
• Фракталы, созданные итерацией сложных многочленов: возможно, самые известные фракталы.
• Бассейны Ньютона
• Кватернионные и гипернионные фракталы
• Фрактальные ландшафты, генерируемые случайными фрактальными процессами
• Оболочка Мандельброта — своего рода трехмерный фрактал

Общие принципы работ

Все фрактальные изображения объединены следующими ключевыми качествами. Самоподобие — фракталы обладают точным, примерным или статистическим самоподобием. Алгоритмичность — фракталы строятся с помощью простого рекурсивного алгоритма. Многомерность — детали фракталов заметны при любом масштабе наблюдений. Неравномерность — фрактальная структура слишком неравномерна, поэтому её нельзя описать в терминах классической геометрии. Повторение — в фракталах «…одни и те же шаблоны повторяются повсюду, но всякий раз несколько по-разному… мы постоянно будем видеть что-то новое, но при этом снова и снова будут появляться знакомые очертания». Незавершённость — фрактал «никогда не дан в ясной завершённости… визуальные образы фрактала всегда суть незавершённости». Бесконечность — в 1984 году Бенуа Мандельброт, рассуждая о фрактальном устройстве природы, отметил: «Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно».

История

Первое фрактальное изображение, которое стало произведением искусства, было, вероятно, изображено на обложке журнала Scientific American, за август 1985 года. На этом изображении был создан ландшафт, образованный из потенциальной функции на участке вне (обычного) Множества Мандельброта. Однако по мере того, как потенциальная функция быстро растет вблизи границы Множества, художник должен был позволить пейзажу расти вниз, так что казалось, что Множество Мандельброта являло собой плато на вершине горы с крутыми сторонами.

В 1984 году Институт Гете включил в свою культурную программу выставку «Границы хаоса», экспонатами которой выступили математические графики, иллюстрирующие различные алгебраические функции фракталов. Данное событие стало отправной точкой в процессе формирования фрактального искусства. В 1986 году немецкий исследователи Майкл Рихтер и Хайнц-Отто Пейтген и обобщили материалы выставки «Границы хаоса» в книге «Красота фракталов».

Постепенно стало формироваться новое направление современного искусства названное фрактальным. В 1994 году французские и американские художники-фракталисты организовались в группу «Искусство и сложность» (Art and Complexity), они занимались написанием манифестов и организацией картинных аукционов. Вскоре были организованы выставки, в которых выставлялись работы Карлоса Гинзбурга, Н. Наха, П. Домби, М. Шевалье, Д. Нехватала, Ж.-П. Агости, Джими Лонга и других художников-фракталистов.

Позже фракталы в качестве арт-объектов стали предметом целого ряда художественных акций. Среди участников интернационального объединения «Искусство и сложность» были художники Эдвард Берко, Джим Лонг, Карлос Гинзбург, Мигель Шевалье, Жан-Клод Мейнард.

В 1996 году художники-фракталисты США, Великобритании и Австралии организовали художественно-коммуникативную площадку на сайте Fractalus.com. Там были размещены виртуальные галереи их работ и разделы о программных ресурсах, конкурсах цифрового фрактального искусства, коллективных артпроектах. А с 1997 года это интернет-сообщество начало проводить международные конкурсы по цифровой фрактальной живописи.

К началу 2000-х годов программисты создали большое количество компьютерных программ с помощью которых алгоритмическое конструирование фракталов стало упрощаться. Таким образом фрактальное изобразительное искусство оформилось в самостоятельное направление, пик популярности которого пришелся на конец ХХ — начало XXI века.

В связи с тем, что фрактальное искусство зарождалось как изобразительное направление, в искусствоведческих исследованиях оно часто сводится к визуальному. Однако в начале 2000-х годов фрактальные способы композиции проникли и в архитектурное проектирование, и в музыкальную композицию, а позже и в видео-арт.

Направления работ

Существует множество различных фрактальных изображений, и их можно разделить на несколько групп:

• Фракталы, полученные из стандартной геометрии, с использованием итеративных преобразований на исходной общей фигуре, такой как прямая линия (Кривая Коха), треугольник (Треугольник Серпинского) или куб (Губка Менгера). К этой группе относятся первые фрактальные фигуры, изобретённые в конце XIX и начале XX веков.
• IFS (итерированные функциональные системы)
• Странные аттракторы
• Фрактальное пламя
• Фракталы L-системы
• Фракталы, созданные итерацией сложных многочленов: возможно, самые известные фракталы.
• Бассейны Ньютона
• Кватернионные и гипернионные фракталы
• Фрактальные ландшафты, генерируемые случайными фрактальными процессами
• Оболочка Мандельброта — своего рода трехмерный фрактал

Направления работ

Существует множество различных фрактальных изображений, и их можно разделить на несколько групп:

• Фракталы, полученные из стандартной геометрии, с использованием итеративных преобразований на исходной общей фигуре, такой как прямая линия (Кривая Коха), треугольник (Треугольник Серпинского) или куб (Губка Менгера). К этой группе относятся первые фрактальные фигуры, изобретённые в конце XIX и начале XX веков.
• IFS (итерированные функциональные системы)
• Странные аттракторы
• Фрактальное пламя
• Фракталы L-системы
• Фракталы, созданные итерацией сложных многочленов: возможно, самые известные фракталы.
• Бассейны Ньютона
• Кватернионные и гипернионные фракталы
• Фрактальные ландшафты, генерируемые случайными фрактальными процессами
• Оболочка Мандельброта — своего рода трехмерный фрактал

Языком математики: динамические (алгебраические) фракталы

Фракталы этого типа возникают при исследовании нелинейных динамических систем (отсюда и название). Поведение такой системы можно описать комплексной нелинейной функцией (многочленом) f (z). Возьмем какую-нибудь начальную точку z0 на комплексной плоскости (см. врезку). Теперь рассмотрим такую бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). В зависимости от начальной точки z0 такая последовательность может вести себя по‑разному: стремиться к бесконечности при n -> ∞; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты.

Комплексные числа

Комплексное число — это число, состоящее из двух частей — действительной и мнимой, то есть формальная сумма x + iy (x и y здесь — вещественные числа). i — это т.н. мнимая единица, то есть то есть число, удовлетворяющее уравнению i^2 = -1. Над комплексными числами определены основные математические операции — сложение, умножение, деление, вычитание (не определена только операция сравнения). Для отображения комплексных чисел часто используется геометрическое представление — на плоскости (ее называют комплексной) по оси абсцисс откладывают действительную часть, а по оси ординат — мнимую, при этом комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y.

Таким образом, любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f (z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). Так вот, оказывается, что множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жулиа для функции f (z).

Семейство драконов

Варьируя основу и фрагмент, можно получить потрясающее разнообразие конструктивных фракталов.
Более того, подобные операции можно производить и в трехмерном пространстве. Примерами объемных фракталов могут служить «губка Менгера», «пирамида Серпинского» и другие.
К конструктивным фракталам относят и семейство драконов. Иногда их называют по имени первооткрывателей «драконами Хейвея-Хартера» (своей формой они напоминают китайских драконов). Существует несколько способов построения этой кривой. Самый простой и наглядный из них такой: нужно взять достаточно длинную полоску бумаги (чем тоньше бумага, тем лучше), и согнуть ее пополам. Затем снова согнуть ее вдвое в том же направлении, что и в первый раз. После нескольких повторений (обычно через пять-шесть складываний полоска становится слишком толстой, чтобы ее можно было аккуратно гнуть дальше) нужно разогнуть полоску обратно, причем стараться, чтобы в местах сгибов образовались углы в 90˚. Тогда в профиль получится кривая дракона. Разумеется, это будет лишь приближение, как и все наши попытки изобразить фрактальные объекты. Компьютер позволяет изобразить гораздо больше шагов этого процесса, и в результате получается очень красивая фигура.

Множество Мандельброта строится несколько иначе. Рассмотрим функцию fc (z) = z2+с, где c — комплексное число. Построим последовательность этой функции с z0=0, в зависимости от параметра с она может расходиться к бесконечности или оставаться ограниченной. При этом все значения с, при которых эта последовательность ограничена, как раз и образуют множество Мандельброта. Оно было детально изучено самим Мандельбротом и другими математиками, которые открыли немало интересных свойств этого множества.

Видно, что определения множеств Жулиа и Мандельброта похожи друг на друга. На самом деле эти два множества тесно связаны. А именно, множество Мандельброта — это все значения комплексного параметра c, при которых множество Жулиа fc (z) связно (множество называется связным, если его нельзя разбить на две непересекающиеся части, с некоторыми дополнительными условиями).

Направления работ

Существует множество различных фрактальных изображений, и их можно разделить на несколько групп:

• Фракталы, полученные из стандартной геометрии, с использованием итеративных преобразований на исходной общей фигуре, такой как прямая линия (Кривая Коха), треугольник (Треугольник Серпинского) или куб (Губка Менгера). К этой группе относятся первые фрактальные фигуры, изобретённые в конце XIX и начале XX веков.
• IFS (итерированные функциональные системы)
• Странные аттракторы
• Фрактальное пламя
• Фракталы L-системы
• Фракталы, созданные итерацией сложных многочленов: возможно, самые известные фракталы.
• Бассейны Ньютона
• Кватернионные и гипернионные фракталы
• Фрактальные ландшафты, генерируемые случайными фрактальными процессами
• Оболочка Мандельброта — своего рода трехмерный фрактал

Подборки

Армейские ПесниКлассика пианиноМузыка из рекламыДетские песни из мультфильмовМузыка для аэробикиСборник песен 70х годовДля любимого человекаКлассика в современной обработкеКлубные миксы русских исполнителей3D ЗвукДальнобойщикиЗарубежный рэп для машиныТоповые Клубные ТрекиМощные БасыДискотека 2000Песни про папуХристианские ПесниЗимняя МузыкаМузыка Для МедитацииРусские Хиты 90ХГрустная МузыкаRomantic SaxophoneТанцевальный хип-хопНовогодние песниЗарубежные хиты 80 — 90Песни про покемонаРомантическая МузыкаМотивация для тренировокМузыка для сексаМузыка в машинуДля силовых тренировокПремия «Grammy 2017»

Конструктивные (геометрические) фракталы

Алгоритм построения конструктивного фрактала в общем случае таков. Прежде всего нам нужны две подходящие геометрические фигуры, назовем их основой и фрагментом. На первом этапе изображается основа будущего фрактала. Затем некоторые ее части заменяются фрагментом, взятым в подходящем масштабе, — это первая итерация построения. Затем у полученной фигуры снова некоторые части меняются на фигуры, подобные фрагменту, и т. д. Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в пределе получится фрактал.

Рассмотрим этот процесс на примере кривой Коха. За основу кривой Коха можно взять любую кривую (для «снежинки Коха» это треугольник). Но мы ограничимся простейшим случаем — отрезком. Фрагмент — ломаная, изображенная сверху на рисунке. После первой итерации алгоритма в данном случае исходный отрезок совпадет с фрагментом, затем каждый из составляющих его отрезков сам заменится на ломаную, подобную фрагменту, и т. д. На рисунке показаны первые четыре шага этого процесса.

Общие принципы работ

Все фрактальные изображения объединены следующими ключевыми качествами. Самоподобие — фракталы обладают точным, примерным или статистическим самоподобием. Алгоритмичность — фракталы строятся с помощью простого рекурсивного алгоритма. Многомерность — детали фракталов заметны при любом масштабе наблюдений. Неравномерность — фрактальная структура слишком неравномерна, поэтому её нельзя описать в терминах классической геометрии. Повторение — в фракталах «…одни и те же шаблоны повторяются повсюду, но всякий раз несколько по-разному… мы постоянно будем видеть что-то новое, но при этом снова и снова будут появляться знакомые очертания». Незавершённость — фрактал «никогда не дан в ясной завершённости… визуальные образы фрактала всегда суть незавершённости». Бесконечность — в 1984 году Бенуа Мандельброт, рассуждая о фрактальном устройстве природы, отметил: «Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно».

Общие принципы работ

Все фрактальные изображения объединены следующими ключевыми качествами. Самоподобие — фракталы обладают точным, примерным или статистическим самоподобием. Алгоритмичность — фракталы строятся с помощью простого рекурсивного алгоритма. Многомерность — детали фракталов заметны при любом масштабе наблюдений. Неравномерность — фрактальная структура слишком неравномерна, поэтому её нельзя описать в терминах классической геометрии. Повторение — в фракталах «…одни и те же шаблоны повторяются повсюду, но всякий раз несколько по-разному… мы постоянно будем видеть что-то новое, но при этом снова и снова будут появляться знакомые очертания». Незавершённость — фрактал «никогда не дан в ясной завершённости… визуальные образы фрактала всегда суть незавершённости». Бесконечность — в 1984 году Бенуа Мандельброт, рассуждая о фрактальном устройстве природы, отметил: «Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно».

История

Первое фрактальное изображение, которое стало произведением искусства, было, вероятно, изображено на обложке журнала Scientific American, за август 1985 года. На этом изображении был создан ландшафт, образованный из потенциальной функции на участке вне (обычного) Множества Мандельброта. Однако по мере того, как потенциальная функция быстро растет вблизи границы Множества, художник должен был позволить пейзажу расти вниз, так что казалось, что Множество Мандельброта являло собой плато на вершине горы с крутыми сторонами.

В 1984 году Институт Гете включил в свою культурную программу выставку «Границы хаоса», экспонатами которой выступили математические графики, иллюстрирующие различные алгебраические функции фракталов. Данное событие стало отправной точкой в процессе формирования фрактального искусства. В 1986 году немецкий исследователи Майкл Рихтер и Хайнц-Отто Пейтген и обобщили материалы выставки «Границы хаоса» в книге «Красота фракталов».

Постепенно стало формироваться новое направление современного искусства названное фрактальным. В 1994 году французские и американские художники-фракталисты организовались в группу «Искусство и сложность» (Art and Complexity), они занимались написанием манифестов и организацией картинных аукционов. Вскоре были организованы выставки, в которых выставлялись работы Карлоса Гинзбурга, Н. Наха, П. Домби, М. Шевалье, Д. Нехватала, Ж.-П. Агости, Джими Лонга и других художников-фракталистов.

Позже фракталы в качестве арт-объектов стали предметом целого ряда художественных акций. Среди участников интернационального объединения «Искусство и сложность» были художники Эдвард Берко, Джим Лонг, Карлос Гинзбург, Мигель Шевалье, Жан-Клод Мейнард.

В 1996 году художники-фракталисты США, Великобритании и Австралии организовали художественно-коммуникативную площадку на сайте Fractalus.com. Там были размещены виртуальные галереи их работ и разделы о программных ресурсах, конкурсах цифрового фрактального искусства, коллективных артпроектах. А с 1997 года это интернет-сообщество начало проводить международные конкурсы по цифровой фрактальной живописи.

К началу 2000-х годов программисты создали большое количество компьютерных программ с помощью которых алгоритмическое конструирование фракталов стало упрощаться. Таким образом фрактальное изобразительное искусство оформилось в самостоятельное направление, пик популярности которого пришелся на конец ХХ — начало XXI века.

В связи с тем, что фрактальное искусство зарождалось как изобразительное направление, в искусствоведческих исследованиях оно часто сводится к визуальному. Однако в начале 2000-х годов фрактальные способы композиции проникли и в архитектурное проектирование, и в музыкальную композицию, а позже и в видео-арт.

Саундтреки

Из фильма В центре вниманияИз фильма Ван ХельсингИз сериала Дневники ВампираИз фильма Скауты против зомбииз фильмов ‘Миссия невыполнима’Из фильма Голодные игры: Сойка-пересмешница. Часть 2OST ‘Свет в океане’OST «Большой и добрый великан»из фильма ‘Новогодний корпоратив’из фильма ‘Список Шиндлера’ OST ‘Перевозчик’Из фильма Книга джунглейиз сериала ‘Метод’Из фильма ТелохранительИз сериала Изменыиз фильма Мистериум. Тьма в бутылкеиз фильма ‘Пассажиры’из фильма ТишинаИз сериала Кухня. 6 сезониз фильма ‘Расплата’ Из фильма Человек-муравейиз фильма ПриглашениеИз фильма Бегущий в лабиринте 2из фильма ‘Молот’из фильма ‘Инкарнация’Из фильма Савва. Сердце воинаИз сериала Легко ли быть молодымиз сериала ‘Ольга’Из сериала Хроники ШаннарыИз фильма Самый лучший деньИз фильма Соседи. На тропе войныМузыка из сериала «Остров»Из фильма ЙоганутыеИз фильма ПреступникИз сериала СверхестественноеИз сериала Сладкая жизньИз фильма Голограмма для короляИз фильма Первый мститель: ПротивостояниеИз фильма КостиИз фильма Любовь не по размеруOST ‘Глубоководный горизонт’Из фильма Перепискаиз фильма ‘Призрачная красота’Место встречи изменить нельзяOST «Гений»из фильма ‘Красотка’Из фильма Алиса в ЗазеркальеИз фильма 1+1 (Неприкасаемые)Из фильма До встречи с тобойиз фильма ‘Скрытые фигуры’из фильма Призывиз сериала ‘Мир Дикого Запада’из игр серии ‘Bioshock’ Музыка из аниме «Темный дворецкий»из фильма ‘Американская пастораль’Из фильма Тарзан. ЛегендаИз фильма Красавица и чудовище ‘Искусственный интеллект. Доступ неограничен»Люди в черном 3’из фильма ‘Планетариум’Из фильма ПрогулкаИз сериала ЧужестранкаИз сериала Элементарноиз сериала ‘Обратная сторона Луны’Из фильма ВаркрафтИз фильма Громче, чем бомбыиз мультфильма ‘Зверопой’Из фильма БруклинИз фильма Игра на понижениеИз фильма Зачарованнаяиз фильма РазрушениеOST «Полный расколбас»OST «Свободный штат Джонса»OST И гаснет светИз сериала СолдатыИз сериала Крыша мираИз фильма Неоновый демонИз фильма Москва никогда не спитИз фильма Джейн берет ружьеИз фильма Стражи галактикииз фильма ‘Sos, дед мороз или все сбудется’OST ‘Дом странных детей Мисс Перегрин’Из игры Contact WarsИз Фильма АмелиИз фильма Иллюзия обмана 2OST Ледниковый период 5: Столкновение неизбежноИз фильма Из тьмыИз фильма Колония Дигнидадиз фильма ‘Страна чудес’Музыка из сериала ‘Цвет черёмухи’Из фильма Образцовый самец 2из фильмов про Гарри Поттера Из фильма Дивергент, глава 3: За стеной из мультфильма ‘Монстр в Париже’из мультфильма ‘Аисты’Из фильма КоробкаИз фильма СомнияИз сериала Ходячие мертвецыИз фильма ВыборИз сериала Королек — птичка певчаяДень независимости 2: ВозрождениеИз сериала Великолепный векиз фильма ‘Полтора шпиона’из фильма Светская жизньИз сериала Острые козырьки

История

Первое фрактальное изображение, которое стало произведением искусства, было, вероятно, изображено на обложке журнала Scientific American, за август 1985 года. На этом изображении был создан ландшафт, образованный из потенциальной функции на участке вне (обычного) Множества Мандельброта. Однако по мере того, как потенциальная функция быстро растет вблизи границы Множества, художник должен был позволить пейзажу расти вниз, так что казалось, что Множество Мандельброта являло собой плато на вершине горы с крутыми сторонами.

В 1984 году Институт Гете включил в свою культурную программу выставку «Границы хаоса», экспонатами которой выступили математические графики, иллюстрирующие различные алгебраические функции фракталов. Данное событие стало отправной точкой в процессе формирования фрактального искусства. В 1986 году немецкий исследователи Майкл Рихтер и Хайнц-Отто Пейтген и обобщили материалы выставки «Границы хаоса» в книге «Красота фракталов».

Постепенно стало формироваться новое направление современного искусства названное фрактальным. В 1994 году французские и американские художники-фракталисты организовались в группу «Искусство и сложность» (Art and Complexity), они занимались написанием манифестов и организацией картинных аукционов. Вскоре были организованы выставки, в которых выставлялись работы Карлоса Гинзбурга, Н. Наха, П. Домби, М. Шевалье, Д. Нехватала, Ж.-П. Агости, Джими Лонга и других художников-фракталистов.

Позже фракталы в качестве арт-объектов стали предметом целого ряда художественных акций. Среди участников интернационального объединения «Искусство и сложность» были художники Эдвард Берко, Джим Лонг, Карлос Гинзбург, Мигель Шевалье, Жан-Клод Мейнард.

В 1996 году художники-фракталисты США, Великобритании и Австралии организовали художественно-коммуникативную площадку на сайте Fractalus.com. Там были размещены виртуальные галереи их работ и разделы о программных ресурсах, конкурсах цифрового фрактального искусства, коллективных артпроектах. А с 1997 года это интернет-сообщество начало проводить международные конкурсы по цифровой фрактальной живописи.

К началу 2000-х годов программисты создали большое количество компьютерных программ с помощью которых алгоритмическое конструирование фракталов стало упрощаться. Таким образом фрактальное изобразительное искусство оформилось в самостоятельное направление, пик популярности которого пришелся на конец ХХ — начало XXI века.

В связи с тем, что фрактальное искусство зарождалось как изобразительное направление, в искусствоведческих исследованиях оно часто сводится к визуальному. Однако в начале 2000-х годов фрактальные способы композиции проникли и в архитектурное проектирование, и в музыкальную композицию, а позже и в видео-арт.

Общие принципы работ

Все фрактальные изображения объединены следующими ключевыми качествами. Самоподобие — фракталы обладают точным, примерным или статистическим самоподобием. Алгоритмичность — фракталы строятся с помощью простого рекурсивного алгоритма. Многомерность — детали фракталов заметны при любом масштабе наблюдений. Неравномерность — фрактальная структура слишком неравномерна, поэтому её нельзя описать в терминах классической геометрии. Повторение — в фракталах «…одни и те же шаблоны повторяются повсюду, но всякий раз несколько по-разному… мы постоянно будем видеть что-то новое, но при этом снова и снова будут появляться знакомые очертания». Незавершённость — фрактал «никогда не дан в ясной завершённости… визуальные образы фрактала всегда суть незавершённости». Бесконечность — в 1984 году Бенуа Мандельброт, рассуждая о фрактальном устройстве природы, отметил: «Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно».

Общие принципы работ

Все фрактальные изображения объединены следующими ключевыми качествами. Самоподобие — фракталы обладают точным, примерным или статистическим самоподобием. Алгоритмичность — фракталы строятся с помощью простого рекурсивного алгоритма. Многомерность — детали фракталов заметны при любом масштабе наблюдений. Неравномерность — фрактальная структура слишком неравномерна, поэтому её нельзя описать в терминах классической геометрии. Повторение — в фракталах «…одни и те же шаблоны повторяются повсюду, но всякий раз несколько по-разному… мы постоянно будем видеть что-то новое, но при этом снова и снова будут появляться знакомые очертания». Незавершённость — фрактал «никогда не дан в ясной завершённости… визуальные образы фрактала всегда суть незавершённости». Бесконечность — в 1984 году Бенуа Мандельброт, рассуждая о фрактальном устройстве природы, отметил: «Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно».

Направления работ

Существует множество различных фрактальных изображений, и их можно разделить на несколько групп:

• Фракталы, полученные из стандартной геометрии, с использованием итеративных преобразований на исходной общей фигуре, такой как прямая линия (Кривая Коха), треугольник (Треугольник Серпинского) или куб (Губка Менгера). К этой группе относятся первые фрактальные фигуры, изобретённые в конце XIX и начале XX веков.
• IFS (итерированные функциональные системы)
• Странные аттракторы
• Фрактальное пламя
• Фракталы L-системы
• Фракталы, созданные итерацией сложных многочленов: возможно, самые известные фракталы.
• Бассейны Ньютона
• Кватернионные и гипернионные фракталы
• Фрактальные ландшафты, генерируемые случайными фрактальными процессами
• Оболочка Мандельброта — своего рода трехмерный фрактал