Сриниваса рамануджан биография

Начало

Имя Рамануджана навсегда связано с именем английского математика Годфри Харди, который стал его другом, наставником и научным соратником.

Эта удивительная история началась с письма, которое в 1913 году получил профессор математики Кембриджского университета, известный математик Годфри Харди.

В свои 36 лет Харди был уже одним из крупнейших специалистов по анализу и теории чисел, автором ряда великолепных математических работ. Отправитель же письма, Шринивас Рамануджан, работал клерком в бухгалтерии почтового ведомства Мадраса. Он сообщал о себе, что не имеет университетского образования и после окончания школы самостоятельно занимается математикой, не следуя принятой системе, а «избрав свою дорогу». К письму были приложены листы, исписанные формулами, которые Рамануджан просил опубликовать, если они покажутся интересными, поскольку сам он беден и не имеет для этого средств.

Вскоре Харди понимает, что ситуация парадоксальна: он, выдающийся специалист по современному математическому анализу, получает по почте россыпь неизвестных ему формул! Он обескуражен: как такое возможно — профессор с трудом понимает формулы бухгалтера! 

Заинтригованный, Харди отвечает на письмо, и у него завязывается оживленная переписка с загадочным математиком. Постепенно у Харди оказывается около 120 формул Рамануджана, которые касались соотношений между бесконечными радикалами, бесконечными рядами, произведениями и цепными дробями, а также тождеств между интегралами.

Наибольшее впечатление на Харди произвела формула с бесконечными рядами.

Каким образом сумма может вдруг оказаться равной 2/π, Харди долго не мог понять. После тщательного изучения он приходит к выводу: «. . . в распоряжении Рамануджана должны быть какие-то очень общие теоремы, которые он от меня скрывает».

Уже много позже, в 1940 году, в книге «Двенадцать лекций о Рамануджане» Харди напишет: «Каждое натуральное число было личным другом Рамануджана». Он вспоминает, как однажды навестил в больнице Рамануджана и сказал, что приехал на такси со «скучным» номером 1729. Рамануджан разволновался и воскликнул: «Харди, ну как же, Харди, это число — наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!» 

В том первом письме особо удивили Харди соотношения с бесконечными цепными дробями: «. . . эти соотношения поставили меня полностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточно бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли быть написаны только математиком самого высшего класса».

Это – самая красивая формула Рамануджана, настоящее произведение математического искусства!

Она связывает бесконечный ряд и бесконечную цепную дробь. Рамануджан утверждал, что их сумма равна квадратному корню из произведения двух универсальных постоянных — π и е, — деленных пополам. При этом, ни бесконечный ряд, ни бесконечная дробь к этим постоянным никакого отношения не имеют. Однако Рамануджан увидел, что связь между ними существует!

Весной 1914 года Харди убеждает 26-летнего Рамануджана переехать в Кембридж. Первые месяцы пребывания Рамануджана в Кембридже были посвящены восполнению основных пробелов в его математических знаниях. Харди, Литлвуд и другие кембриджские математики были изумлены как глубиной его знаний в одних вопросах, так и его полной неосведомленностью в других. Рамануджан упорно занимается математикой и только одной математикой. В это время выходят одна за другой его научные работы, написанные самостоятельно или в соавторстве с Харди и Литлвудом. 

26 ноября 1918 года Рамануджан был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета.

В январе 1919 года Рамануджан решает навестить родных и какое-то время поработать в Мадрасском университете. Однако утомительная дорога до Индии, длиной почти в три месяца, окончательно подорвала его и без того слабое здоровье, и в апреле 1920 года Рамануджан умирает. Ему было 32 года.

После отъезда Рамануджана Харди с нетерпением ждал от него известий. Но писем не было. И только через год, в январе 1920 года, пришло долгожданное письмо:

«Я очень прошу меня извинить, что до сих пор не написал Вам ни одного письма… Я недавно открыл очень интересные функции, которые я называю «симулирующими» («mock») тета-функциями. В отличие от «псевдо»-J-функций (которые частично изучались проф. Роджерсом в его интересной работе), они входят в математику так же красиво, как обычные J-функции. Посылаю вам с этим письмом несколько примеров…»

Это было последнее письмо Рамануджана, которое он написал Харди. Отказавшись от лечения, он неистово работал…

Рамануджан в Кембридже

тамильскийэрцгерцог Фердинандони летают в самолетах на большой высоте, бомбят города и разрушают их. Как только вражеские самолеты показываются в небе, самолеты, стоящие на земле, взлетают и на огромной скорости набрасываются на них, что несет разрушение и смертьвойна ведется на территориях столь отдаленных, насколько Рангун находится далеко от немного семян тамаринда и хорошего кокосового маслапрофессора здесь… утратили интерес к математике из-за нынешней войныизменил план публикации своих результатових методыполучить новые результаты их методами, чтобы легко и без задержек публиковатьсявысокосоставные числахмаксимумахDivisorSigmaстатьюPartitionsPnPartitionsPкакой-то неизвестный возбудитель с Востока, совершенно неизученный в настоящее времяКак и все индийцы, Рамануджан фаталист, а потому ужасно трудно заставить его заботиться о себеНет, это очень интересное число; это наименьшее число, представимое в виде суммы двух кубов двумя различными способамисообщает теперь также о некоторых других его свойствах13 марта 1919 года12 января 1920 года

Научные интересы и результаты

Сфера его математических интересов была очень широка. Это магические квадраты, квадратура круга, бесконечные ряды, гладкие числа, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определённые интегралы, эллиптические и модулярные функции.

Он нашел несколько частных решений уравнения Эйлера (см. задача о четырех кубах), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современными математиками Рамануджан считается крупнейшим знатоком цепных дробей в мире. Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение e{\displaystyle e} на π{\displaystyle \pi }:

1+11⋅3+11⋅3⋅5+11⋅3⋅5⋅7+11⋅3⋅5⋅7⋅9+…+11+11+21+31+41+51+…=e⋅π2.{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}.}

Математикам хорошо известна формула вычисления числа π{\displaystyle \pi }, полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора:

π=980122∑k=∞(4k)!(k!)4×1103+26390k(4×99)4k.{\displaystyle \pi ={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {(4k)!}{(k!)^{4}}}\times \displaystyle {\frac {}{(4\times 99)^{4k}}}}}.}

Уже при суммировании первых 100 элементов (k=100{\displaystyle k=100}) этого ряда достигается огромная точность — шестьсот верных значащих цифр!

Примеры бесконечных сумм, найденных Рамануджаном:

1−5(12)3+9(1×32×4)3−13(1×3×52×4×6)3+…=2π.{\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\pi }}.}

1+9(14)4+17(1×54×8)4+25(1×5×94×8×12)4+⋯=232π12Γ2(34).{\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}

Эти удивительные формулы — одни из предложенных им в первом письме к Харди. Доказательства этих равенств нетривиальны.

Другие формулы Рамануджана не менее изящны:

1+21+31+41+…=3.{\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}=3.}

x3+y3+z3=w3{\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}} , где

x=3a2+5ab−5b2{\displaystyle x=3a^{2}+5ab-5b^{2}}

y=5a2−5ab−3b2{\displaystyle y=5a^{2}-5ab-3b^{2}}

z=4a2−4ab+6b2{\displaystyle z=4a^{2}-4ab+6b^{2}}

w=6a2−4ab+4b2{\displaystyle w=6a^{2}-4ab+4b^{2}}

Человек, который знал бесконечность

Шриниваса Рамануджан скончался от своей болезни 26 апреля 1920 года в возраст 32 года. И даже на смертном одре он был поглощен математикой, записав группу теорем, которые, по его словам, пришли к нему во сне. Эти и многие из его более ранних теорем настолько сложны, что весь масштаб наследия Рамануджана еще предстоит полностью раскрыть, и его работа остается предметом многих математических исследований. Его сборники были опубликованы издательством Кембриджского университета в 1927 году.

Биография Рамануджана под названием «Человек, который знал бесконечность» была опубликована в 1991 году, а фильм с тем же именем, в котором снимались Дев Патель в роли Рамануджана и Джереми Айронс в роли Харди, был показан в сентябре 2015 года на кинофестивале в Торонто. Эти записные книжки содержат около 4000 заявлений, все без доказательств. Большинство этих утверждений теперь доказано, и, как и его опубликованные работы, продолжают вдохновлять современную математику.

Поворотный момент

Формулы Рамануджана берут начало с его детства, а именно с того момента, когда ему в руки в 16-летнем возрасте попалась одна книга. Это было собрание сочинений Дж. Ш. Карра – известного математика. Труд его назывался «Сборник элементарных результатов прикладной и чистой математики». При этом заметим, что книга была написана почти за 25 лет до описываемых событий, но тем не менее она произвела огромное влияние на подростка и определила его дальнейшую судьбу. Кстати, этот труд позже исследователи тщательно анализировали именно потому, что он был связан с именем Сринивасы Рамануджана.

В книге было более 6 тысяч различных формул и теорий, но при этом практически все они были представлены без доказательств. Погружение мальчика в эту огромную работу определило его судьбу. Именно эта книга оказала влияние на способ мышления парня и своеобразный способ поиска решений в математике.

О приёмных матерях бедного мальчишки[править]

В возрасте 37 лет доживающая свой век мать Рамануджана составила завещание:

Непонятно, почему завещание не было дописано. Возможно, у мамы сломался карандаш, а может быть, она не выдержала и отравилась. Рамануджан узнал о смерти мамы на следующей неделе, когда к ним в дом вошла новая мачеха Рамануджана. В дальнейшем новые мачехи приходили к мальчишке каждые 68,31 минуты, в дальнейшем это число всё уменьшалось. За свою жизнь у Рамануджана было 186095 мачех!

Жизнь в Англии

Переписка заняла несколько лет, Харди распознал в молодом математике гения, возможно равного Эйнштейну. Его привлекли не столько математические знания индуса, сколько его необычный подход и стремление к еще не познанным областям науки. Позже Г.Харди добился его прибытия в Англию для дальнейшей совместной работы.

Перед поездкой Рамануджан специально готовился к европейской жизни, чтобы не быть изгоем: подстриг волосы на европейский манер, чем немало расстроил маму, учился носить европейскую одежду и есть не руками, а ложкой, ножом и вилкой. И, конечно, активно изучал английский, чтобы без препятствий общаться с профессорами и студентами.

Cриниваса Рамануджан и Готфри Харди

Харди поражал неожиданный подход Рамануджана к решению ранее не решаемых математических задач, он видел, как индийский математик интуитивно выводит формулы, которые не сразу может доказать, но сразу понимает, что они истинны.

Первое время в Кембридже Рамануджан посвятил восполнению пробелов в математике. Г.Харди удивлялся, насколько просто индус справлялся с наисложнейшими модулярными уравнениями и цепными дробями, но при этом не имел ни малейшего понятия об элементарной функции комплексного переменного и необходимости доказательств любых научных гипотез.

С доказательством собственных уравнений и функций у Рамануджана было немало проблем. Он утверждал, что уравнения и формулы, которые возникают у него в голове, во сне ему подсказывает богиня Намаккаль.  А знание, представленное в виде цифровых выражений, по его мнению, не может быть неистинным.

Для решения всех этих проблем Харди и его друг и одновременно талантливый математик Джон Литлвуд проводили индивидуальные занятия с Рамануджаном, где восполняли его недостающие знания и одновременно обсуждали новые математические идеи Рамануджана.

Утверждать, что все его пребывание сводилось только к скрупулезному изучению математической науки, нельзя. Он с удовольствием общался с другими студентами из Индии, посещал музыкальные мероприятия. По воспоминаниям как Харди так и некоторых студентов, в беседе он поддерживать любые темы, начиная от политики до философии.

Осенью 1914 года это эффективное сотрудничество было нарушено – началась Первая мировая война, многие студенты и преподаватели, в том числе и Литлвуд, были мобилизованы. По мнению самого Г.Харди, одного учителя явно не хватало ученику подобного Рамануджану. Сам же английский математик остался в университете, так как медицинская комиссия не допустила его к военной службе.

Военная ситуация не только притормозила обучение Рамануджана, но и привела к некоторым бытовым трудностям: отсутствие овощей негативно сказалось на его питании и вынудило просить друзей из Индии прислать по почте масло и семена растений, чтобы была возможность выращивать самому пищу.

За годы, проведенные в английском университете, Рамануджан успешно выпустил 21 статью, пять из которых были написаны совместно с Г.Харди.

Вскоре у Рамануджана начались серьезные проблемы со здоровьем. До сих пор доподлинно не известно, от какой именно болезни страдал Ранамуджан. Некоторые исследователи называют туберкулез, другие уверены, что это был амебиоз (инфекционное заболевание, поражающее кишечник). Влажный климат Англии, недоверие к европейским врачам, сложности с вегетарианским питанием сказались на нем и привели к резкому ухудшению здоровья.

Около двух лет Рамануджан пытался выехать обратно в Индию, но отъезд постоянно откладывался или из-за трудностей морских переездов в связи с военной ситуацией или из-за ухудшения его состояния. Но все эти годы, даже находясь в больнице, Рамануджан продолжал заниматься математикой.

Осенью 1918 года он был направлен на длительное лечение в один из санаториев Уэльса. Лечение принесло некоторые плоды, и он вновь взялся за свои исследования. Результатом было признание Рамануджана европейским научным сообществом. Он стал первым индийцем, который получил должность профессора Кембриджского университета и был избран в члены Английского Королевского общества.

Первые признания

Благодаря своим признанным в школе математическим талантам Рамануджан получил бесплатное обучение в университете Мадрасса, но не смог остаться там надолго (его отчислили), т.к. его увлекала только математика, собственные исследования занимали все свободное и несвободное время, а экзамены по другим наукам он попросту провалил. В 1906 году он попытался вновь поступить в этот университет, но тяжелая болезнь заставила его вновь вернуться домой в Кумбаконам. Следующие три года он полностью посвятил своим математическим формулам, которыми исписывал свои ставшие после его смерти известными записные книжки.

Вскоре он женился, и ему пришлось искать работу. Кое-какой доход приносило репетиторство, но чтобы прокормить семью, нужна была настоящая работа. Так и не получив высшего образования, молодой математик обращался ко многим влиятельным чиновникам с просьбой о работе, но мало кто хотел помогать нищему индусу.

Так продолжалось до тех пор, пока он не познакомился с известным сановником Рамачандром Рао. Он был первый, кто понял величайший математический талант Рамануджана, и старался использовать все свое влияние, чтобы сделать его жизнь более легкой и продвинуть в научной карьере.

Вначале Рамачандр старался помогать юному математику из своих личных средств, но видя, что того не устраивает такое положение, нашел для него должность счетовода в городском почтовом отделении. Это была не денежная, но удобная для дальнейшей исследовательской деятельности работа, которая предоставляла необходимые время и условия для научного труда.

Благодаря этому в 1911 году в «Журнале Индийского математического общества» было напечатано несколько задач и собственная статья, которые сделали Рамануджана известным в научных кругах страны. А через 2 года он решился отдать результаты своих трудов на более высокий компетентный суд, выбрав для этого Кембриджский университет, который был центром математической мысли Великобритании. С этой целью он начал переписку с Годфри Харольдом Харди, еще молодым, но талантливым и продвинутым математиком.

Загадка Рамануджана

Если время рождения Рамануджана известно из его биографии, то время рождения Годфри Харди неизвестно. Однако сравнение чандра-лагн двух математиков очень интересно.

Чандра-лагна Рамануджана

Чандра-лагна Харди

В обеих картах соединение Сатурна и Раху: у Рамануджана в водном знаке Рака, а у Харди — в воздушном знаке Водолея. У обоих математиков в гороскопах присутствует чандра-мангала-йога, а также влияние Сатурна и Марса на Луну. В карте Харди — сильный 5-й дом, так же как и в гороскопе Рамануджана.

Однако Луна в карте Рамануджана располагается в водном знаке Рыб, а Юпитер стоит в 9-м доме, доме высшего знания. Кроме того, Луна аспектирована хозяином 9-го дома Марсом. 

В гороскопе Харди хозяйка 9-го дома, Луна, ослаблена, соединена с Марсом и аспектирована Сатурном — Харди был поистине блестящим математиком, но, по мнению выдающегося современного физика-математика Стивена Вольфрама, «Его работы не были ни великими, ни провидческими, однако они стали прекрасными примерами математического мастерства». Харди был европейским ученым-эмпириком, полагавшимся на свой интеллект в научном познании и опиравшийся строго на доказательства.

Харди всегда казалось, что Рамануджан скрывает от него то, каким образом он выводит свои удивительные формулы. Безуспешно пытаясь реконструировать метод Рамануджана, Харди высказывает ему свои сомнения в первых письмах и просит сообщить свой метод без опасения, что он воспользуется им. В ответ Рамануджан пишет: «…Ваше последнее письмо причинило мне боль… Я нисколько не опасаюсь того, что мои методы будут использованы другими. Напротив, я работаю моими методами уже 8 лет и не нашел никого, кто бы понимал и оценил их. Как я уже писал в моем последнем письме, я нашел в Вас внимательного и понимающего друга и готов передать в Ваше полное распоряжение те немногие результаты, которыми я располагаю. Только в силу новизны моих методов я не решаюсь даже сейчас сообщить Вам мой путь вывода тех формул, которые я Вам сообщил в моих предыдущих письмах…».

Когда Харди просил у Рамануджана доказательств его удивительных формул, он хотел знать, каким путем шла его научная мысль, а также хотел знать историю каждого результата, которая объясняла бы его. Но методы Рамануджана не поддаются этому способу: можно понять, что формулы верны, но очень сложно доказать, почему это так.

В чем же была тайна метода Рамануджана?

Биографы Рамануджана, школьный учитель математики Сешу Айар и правительственный чиновник Рамачандра Рао, писали о нем: «Рамануджан любил говорить, что формулы ему внушает во сне богиня Намаккаль. Интересно отметить, что он действительно часто, вставая по утрам с кровати, тут же записывал готовые формулы, после чего быстро проверял их…»

Рамануджан исповедовал вишнуизм и поклонялся божеству Махалакшми из Намаккаля. Воспитанный в религиозной брахманической семье, Рамануджан еще в школе задавал учителям вопрос о «высшей истине» в математике, так как твердо был убежден, что существует начало начал, высшая гармония и единая взаимосвязь всех вещей. 

Древнегреческий мыслитель Платон считал, что вера — это способность обладать непосредственным опытом, а идеи для своего познания не нуждаются ни в каких предпосылках, представляя собой вечные и неизменные сущности, доступные одному лишь разуму. Платон писал, что математикам только «снится» бытие, поскольку они используют понятия, принимаемые бездоказательно.

На мой взгляд, конфликт в научных подходах Харди и Рамануджана объяснялся разными методами познания: Харди шел эмпирическим путем, а Рамануджан воспринимал нисходящий поток Знания, или Истины, которая сама по себе не требует никаких доказательств.

Это какой-то фокус?

Это важный научный результат, который находит практическое применение в квантовой физике и теории струн. Еще раз:

Разумеется, в классическом смысле этот ряд — расходящийся, ведь конечного предела у его частичных сумм нет:

Но путём нехитрых манипуляций, понятных даже пятикласснику, мы сейчас самостоятельно выведем, что сумма натурального ряда равна −1/12. Это один из двух методов, которыми пользовался сам Рамануджан в письме Харди. Сперва рассмотрим две другие суммы. S1 — сумму ряда, состоящего из 1 и −1. Этот ряд называется рядом Гранди, в честь итальянского математика Луиджи Гвидо Гранди, который первым обнаружил, что ему можно приписать полную сумму, равную 1/2.

и сумму ряда, получаемого умножением ряда Гранди на натуральный ряд:

Для второго ряда S2 рассмотрим удвоенную сумму этого ряда:

Мы сдвинули вторую копию ряда на одно значение вправо, чтобы лучше была видна идея: складывая второе число первого ряда с первым числом второго, второе — с третьим, и так далее, мы получим, что 2S2 = S1:

откуда получаем, что S2=14.S2=1/4.Теперь вычтем S2 из суммы натурального ряда S:

Но ряд S−S2=4+8+12+16+…S-S2=4+8+12+16+… представляет собой умноженный на 4 исходный ряд S! Т.е. мы теперь получаем очень простое уравнение: S − S2 = 4S. Нам уже известно, что S2=14S2=1/4. Отсюда:

Вот так, пользуясь лишь арифметическими операциями из арсенала средней школы, мы показали, что сумма всех натуральных чисел от 1 до бесконечности равняется −1/12.